.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite que envolve duas variáveis. O enunciado é:
Aqui, estamos trabalhando com cálculo multivariável, especificamente com limites de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender como manipular expressões envolvendo
e
e usar algumas técnicas de limites em várias dimensões.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o que acontece com a função quando
se aproxima de
. Observamos que tanto o numerador quanto o denominador tendem a zero. Isso nos indica que podemos precisar de uma abordagem mais cuidadosa para encontrar o limite.
Passo 3
Uma técnica útil para resolver limites em duas variáveis é converter as coordenadas cartesianas
para coordenadas polares
. Nas coordenadas polares, temos:
Onde
é a distância do ponto
à origem
, e
é o ângulo em relação ao eixo
.
Passo 4
Vamos substituir
e
na nossa função original usando essas expressões:
Simplificando isso, temos:
Passo 5
Podemos fatorar
do numerador e do denominador:
Agora, podemos ver que
cancela do numerador e denominador.
Passo 6
Agora, vamos analisar o comportamento quando
. Observamos que:
-
, já que tende a zero. - O denominador
não depende de e é sempre positivo.
Portanto, a expressão se simplifica para:
Passo 7
Agora, precisamos ver se esse limite depende de
. Se o resultado depender de
, o limite não existe. Se for o mesmo para qualquer
, então esse é o valor do limite.
Vamos escolher dois caminhos diferentes para
:
-
Caminho 1:
-
, -
-
-
Caminho 2:
-
, -
-
Como os limites ao longo de caminhos diferentes resultam em valores diferentes (
e
), isso significa que o limite original não existe.
Resposta
O limite
não existe.