lim (x, y) (0,0) x y cos (x y)3 x^2+y^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite que envolve duas variáveis. O enunciado é:
lim (x, y) (0,0) x y cos (x y)3 x^2+y^2
Aqui, estamos trabalhando com cálculo multivariável, especificamente com limites de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender como manipular expressões envolvendo e e usar algumas técnicas de limites em várias dimensões.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece com a função quando se aproxima de . Observamos que tanto o numerador quanto o denominador tendem a zero. Isso nos indica que podemos precisar de uma abordagem mais cuidadosa para encontrar o limite.

Passo 3

Uma técnica útil para resolver limites em duas variáveis é converter as coordenadas cartesianas x = r cos theta y = r sin theta para coordenadas polares . Nas coordenadas polares, temos:
Onde é a distância do ponto à origem , e é o ângulo em relação ao eixo .

Passo 4

Vamos substituir x y cos (x y)3 x^2+y^2 = (r cos theta)(r sin theta) cos(r^2 cos theta sin theta)3 (r cos theta)^2 + (r sin theta)^2 e r^2 cos theta sin theta cos(r^2 cos theta sin theta)3 r^2 cos^2 theta + r^2 sin^2 theta na nossa função original usando essas expressões:
Simplificando isso, temos:

Passo 5

Podemos fatorar r^2 cos theta sin theta cos(r^2 cos theta sin theta)r^2 (3 cos^2 theta + sin^2 theta) = cos theta sin theta cos(r^2 cos theta sin theta)3 cos^2 theta + sin^2 theta do numerador e do denominador:
Agora, podemos ver que cancela do numerador e denominador.

Passo 6

Agora, vamos analisar o comportamento quando cos theta sin theta cdot 13 cos^2 theta + sin^2 theta = cos theta sin theta3 cos^2 theta + sin^2 theta . Observamos que:
  • , já que tende a zero.
  • O denominador não depende de e é sempre positivo.
Portanto, a expressão se simplifica para:

Passo 7

Agora, precisamos ver se esse limite depende de . Se o resultado depender de , o limite não existe. Se for o mesmo para qualquer , então esse é o valor do limite.
Vamos escolher dois caminhos diferentes para :
  1. Caminho 1:
    • ,
  2. Caminho 2:
    • ,
Como os limites ao longo de caminhos diferentes resultam em valores diferentes ( e ), isso significa que o limite original não existe.

Resposta

O limite não existe.

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