Esboce no plano x y as curvas determinadas pelas parametrizações r(t) = x(t) i + y(t) j descrevendo, em cada caso, a orientação:
(d) x(t) = 3 cos(t) e y(t) = sen(t) para 0 <= t <= pi/2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para esboçar no plano a curva determinada pelas parametrizações com e para .
Aqui, estamos lidando com curvas paramétricas, que são maneiras de representar curvas usando uma ou mais variáveis chamadas parâmetros. Nesse caso, o parâmetro é . Para resolver, precisamos entender como e variam com e como isso desenha uma curva no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que cada função e representa.
  • : Isso significa que a coordenada oscila entre -3 e 3 conforme varia.
  • : Aqui, a coordenada oscila entre -1 e 1.
Essas funções são baseadas em funções trigonométricas, que são fundamentais para descrever movimentos oscilatórios e círculos.

Passo 3

Vamos analisar os valores de no intervalo :
  • Quando :
    • Ponto inicial:
  • Quando :
    • Ponto final:

Passo 4

Para entender como a curva se comporta entre e , podemos eliminar o parâmetro e encontrar uma relação entre e .
Sabemos que:
Queremos expressar em termos de ou vice-versa. Para isso, isolamos da primeira equação:
E sabemos que , então:

Passo 5

A equação é a equação de uma elipse centrada na origem, com semi-eixos de comprimento 3 (no eixo ) e 1 (no eixo ).
No nosso intervalo de de a , a curva vai de a , seguindo a parte da elipse que está no primeiro quadrante.

Passo 6

Agora, vamos desenhar a curva:
  1. Marque os pontos iniciais e finais: e .
  2. Como aumenta de 0 a , diminui de 3 a 0 e aumenta de 0 a 1.
  3. A curva será uma parte da elipse que se move do ponto até , com a orientação indo da direita para cima.

Resposta

A curva determinada pelas parametrizações e para é a parte da elipse que vai do ponto até no primeiro quadrante, com orientação da direita para cima.

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