Esboce no plano
as curvas determinadas pelas parametrizações
descrevendo, em cada caso, a orientação:
(d)
e
para
.
(d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para esboçar no plano
a curva determinada pelas parametrizações
com
e
para
.
Aqui, estamos lidando com curvas paramétricas, que são maneiras de representar curvas usando uma ou mais variáveis chamadas parâmetros. Nesse caso, o parâmetro é
. Para resolver, precisamos entender como
e
variam com
e como isso desenha uma curva no plano.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que cada função
e
representa.
-
: Isso significa que a coordenada oscila entre -3 e 3 conforme varia. -
: Aqui, a coordenada oscila entre -1 e 1.
Essas funções são baseadas em funções trigonométricas, que são fundamentais para descrever movimentos oscilatórios e círculos.
Passo 3
Vamos analisar os valores de
no intervalo
:
-
Quando
: -
-
- Ponto inicial:
-
-
Quando
: -
-
- Ponto final:
-
Passo 4
Para entender como a curva se comporta entre
e
, podemos eliminar o parâmetro
e encontrar uma relação entre
e
.
Sabemos que:
Queremos expressar
em termos de
ou vice-versa. Para isso, isolamos
da primeira equação:
E sabemos que
, então:
Passo 5
A equação
é a equação de uma elipse centrada na origem, com semi-eixos de comprimento 3 (no eixo
) e 1 (no eixo
).
No nosso intervalo de
de
a
, a curva vai de
a
, seguindo a parte da elipse que está no primeiro quadrante.
Passo 6
Agora, vamos desenhar a curva:
- Marque os pontos iniciais e finais:
e . - Como
aumenta de 0 a , diminui de 3 a 0 e aumenta de 0 a 1. - A curva será uma parte da elipse que se move do ponto
até , com a orientação indo da direita para cima.
Resposta
A curva determinada pelas parametrizações
e
para
é a parte da elipse
que vai do ponto
até
no primeiro quadrante, com orientação da direita para cima.