Sabendo que |u|=2,|v|=3 e u cdot v=-1, calcular: (2 v-u) cdot(2 v)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dois vetores, e , com magnitudes e , e o produto escalar entre eles é . A gente precisa calcular o produto escalar de com . Para isso, vamos usar as propriedades do produto escalar e algumas fórmulas básicas de álgebra vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir a expressão (2v - u) cdot (2v) = 2v cdot 2v - u cdot 2v usando a propriedade distributiva do produto escalar, que diz que . Então:

Passo 3

Agora, simplificamos cada termo. Sabemos que o produto escalar de um vetor consigo mesmo é o quadrado da sua magnitude, ou seja, 2v cdot 2v = 4 (v cdot v) = 4 |v|^2 . Além disso, podemos fatorar constantes fora do produto escalar:
u cdot 2v = 2 (u cdot v)

Passo 4

Substituímos os valores que a gente já conhece na expressão. Sabemos que 4 |v|^2 = 4 times 3^2 = 4 times 9 = 36 e 2 (u cdot v) = 2 times (-1) = -2 :

Passo 5

Agora, juntamos os dois resultados:
(2v - u) cdot (2v) = 36 - (-2) = 36 + 2 = 38

Resposta

(2v - u) cdot (2v) = 38

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