Esboce a porção do plano de equação
para
. Encontre uma parametrização para o bordo (fronteira) dessa região, orientada positivamente
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-
Orientada positivamente significa que a região permanece à esquerda, à medida que percorremos a curva. ↩︎
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Orientada positivamente significa que a região permanece à esquerda, à medida que percorremos a curva. ↩︎
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos o plano definido pela equação
e queremos esboçar a parte desse plano onde
,
e
são maiores ou iguais a zero. Isso significa que estamos trabalhando no primeiro octante. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar os interceptos do plano com os eixos e depois parametrizar a fronteira dessa região.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar onde o plano cruza os eixos
,
e
. Para isso, vamos definir dois das variáveis como zero e resolver para a terceira.
-
Intercepto com o eixo
: Então, o ponto é. -
Intercepto com o eixo
: Então, o ponto é. -
Intercepto com o eixo
: Então, o ponto é.
Passo 3
Agora que temos os três pontos de intercepto
,
e
, podemos esboçar a região no primeiro octante. Essa região será um triângulo no espaço, com esses três pontos como vértices.
Passo 4
Para encontrar a parametrização do bordo dessa região, precisamos criar uma função que percorra os três lados do triângulo de forma contínua e orientada positivamente. Orientação positiva significa que, enquanto percorremos a curva, a região fica sempre à nossa esquerda.
Vamos parametrizar cada lado do triângulo separadamente:
-
De
a : -
De
a : -
De
a :
Resposta
A parametrização do bordo da região, orientada positivamente, é dada por: