Esboce a porção do plano de equação 2 x+3 y+4 z=12 para x, y, z >= 0. Encontre uma parametrização para o bordo (fronteira) dessa região, orientada positivamente ^2
[1]

  1. ^2 Orientada positivamente significa que a região permanece à esquerda, à medida que percorremos a curva. ↩︎

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos o plano definido pela equação e queremos esboçar a parte desse plano onde , e são maiores ou iguais a zero. Isso significa que estamos trabalhando no primeiro octante. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar os interceptos do plano com os eixos e depois parametrizar a fronteira dessa região.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar onde o plano cruza os eixos y = 0 e z = 0 Rightarrow 2x = 12 Rightarrow x = 6 , x = 0 e z = 0 Rightarrow 3y = 12 Rightarrow y = 4 e x = 0 e y = 0 Rightarrow 4z = 12 Rightarrow z = 3 . Para isso, vamos definir dois das variáveis como zero e resolver para a terceira.
  • Intercepto com o eixo :
    Então, o ponto é .
  • Intercepto com o eixo :
    Então, o ponto é .
  • Intercepto com o eixo :
    Então, o ponto é .

Passo 3

Agora que temos os três pontos de intercepto , e , podemos esboçar a região no primeiro octante. Essa região será um triângulo no espaço, com esses três pontos como vértices.

Passo 4

Para encontrar a parametrização do bordo dessa região, precisamos criar uma função que percorra os três lados do triângulo de forma contínua e orientada positivamente. Orientação positiva significa que, enquanto percorremos a curva, a região fica sempre à nossa esquerda.
Vamos parametrizar cada lado do triângulo separadamente:
  1. De r1(t) = (6 - 6t, 4t, 0), t in [0, 1] a r2(t) = (0, 4 - 4t, 3t), t in [0, 1] :
    r3(t) = (6t, 0, 3 - 3t), t in [0, 1]
  2. De a :
  3. De a :

Resposta

A parametrização do bordo da região, orientada positivamente, é dada por:
r(t) = (6 - 6t, 4t, 0), & 0 <= t <= 1 (0, 4 - 4t, 3t), & 1 <= t <= 2 (6(t - 2), 0, 3 - 3(t - 2)), & 2 <= t <= 3

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