Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se o operador linear , definido por , é diagonalizável. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como matrizes, autovalores e autovetores.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a matriz associada ao operador . Cada componente de nos dá uma coluna da matriz. Assim, a matriz de fica:
Passo 3
Agora, para verificar se det(A - lambda I) = det 3 - lambda & 0 & -4 & 0 0 & 3 - lambda & -5 & 0 0 & 0 & -1 - lambda & 0 0 & 0 & 0 & -1 - lambda é diagonalizável, precisamos encontrar seus autovalores. Os autovalores são os valores de det(A - lambda I) = (3 - lambda)^2 cdot (-1 - lambda)^2 que satisfazem a equação (3 - lambda)^2 cdot (-1 - lambda)^2 = 0 , onde é a matriz identidade.
Vamos calcular o determinante:
Como essa matriz é triangular, o determinante é o produto dos elementos da diagonal:
Igualando a zero:
Então, os autovalores são e , cada um com multiplicidade 2.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar os autovetores para cada autovalor e verificar se conseguimos formar uma base completa de autovetores.
Para 0 & 0 & -4 & 0 0 & 0 & -5 & 0 0 & 0 & -4 & 0 0 & 0 & 0 & -4 x y z t = 0 0 0 0 :
Então, v3 = 1 54 1 0, v4 = 0 0 0 1 e . As variáveis e são livres, então os autovetores são da forma . Podemos escolher dois autovetores lineares independentes, por exemplo:
Para :
Resolvemos :
[
]
Isso nos dá:
Simplificando:
As variáveis e são livres. Então, os autovetores são da forma . Podemos escolher dois autovetores lineares independentes, por exemplo:
Resposta
Como conseguimos encontrar 4 autovetores linearmente independentes que formam uma base de , o operador é diagonalizável.