Verifique se os operadores são diagonalizáveis. T: R^4 longrightarrow R^4 ; T(x, y, z, t)=(3 x-4 z, 3 y-5 z,-z,-t).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se o operador linear , definido por , é diagonalizável. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como matrizes, autovalores e autovetores.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz associada ao operador A = 3 & 0 & -4 & 0 0 & 3 & -5 & 0 0 & 0 & -1 & 0 0 & 0 & 0 & -1 . Cada componente de nos dá uma coluna da matriz. Assim, a matriz de fica:

Passo 3

Agora, para verificar se det(A - lambda I) = det 3 - lambda & 0 & -4 & 0 0 & 3 - lambda & -5 & 0 0 & 0 & -1 - lambda & 0 0 & 0 & 0 & -1 - lambda é diagonalizável, precisamos encontrar seus autovalores. Os autovalores são os valores de det(A - lambda I) = (3 - lambda)^2 cdot (-1 - lambda)^2 que satisfazem a equação (3 - lambda)^2 cdot (-1 - lambda)^2 = 0 , onde é a matriz identidade.
Vamos calcular o determinante:
Como essa matriz é triangular, o determinante é o produto dos elementos da diagonal:
Igualando a zero:
Então, os autovalores são e , cada um com multiplicidade 2.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar os autovetores para cada autovalor e verificar se conseguimos formar uma base completa de autovetores.
Para 0 & 0 & -4 & 0 0 & 0 & -5 & 0 0 & 0 & -4 & 0 0 & 0 & 0 & -4 x y z t = 0 0 0 0 :
Resolvemos -4z = 0 -5z = 0 -4z = 0 -4t = 0 :

[
v1 = 1 0 0 0, v2 = 0 1 0 0
4 & 0 & -4 & 0 0 & 4 & -5 & 0 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 x y z t = 0 0 0 0

4x - 4z = 0 4y - 5z = 0
]
Isso nos dá as equações:
x = z y = 54z
Então, v3 = 1 54 1 0, v4 = 0 0 0 1 e . As variáveis e são livres, então os autovetores são da forma . Podemos escolher dois autovetores lineares independentes, por exemplo:
Para :
Resolvemos :

[


]
Isso nos dá:
Simplificando:
As variáveis e são livres. Então, os autovetores são da forma . Podemos escolher dois autovetores lineares independentes, por exemplo:

Resposta

Como conseguimos encontrar 4 autovetores linearmente independentes que formam uma base de , o operador é diagonalizável.

Exercícios relacionados