Quais das transformações lineares são ortogonais.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pergunta quais das transformações lineares são ortogonais. Aqui, a transformação dada é
definida por
. Vamos precisar entender o que é uma transformação linear ortogonal e como verificar se essa transformação específica é ortogonal.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear ortogonal. Em álgebra linear, uma transformação linear
é dita ortogonal se ela preserva os comprimentos dos vetores e o ângulo entre eles. Isso significa que, ao aplicar
a qualquer vetor, o resultado terá o mesmo tamanho e direção relativa.
Matematicamente, uma transformação linear é ortogonal se a matriz associada a ela
satisfaz
, onde
é a transposta de
e
é a matriz identidade.
Passo 3
Vamos representar a transformação
como uma matriz. Para isso, observamos como
age nos vetores da base canônica:
Assim, a matriz
que representa
é:
Passo 4
Agora, vamos verificar se
é uma matriz ortogonal. Para isso, precisamos verificar se
.
Primeiro, encontramos a transposta de
:
Note que
porque a matriz é simétrica.
Agora, calculamos
:
Passo 5
Como
, isso confirma que a matriz
é ortogonal. Portanto, a transformação
é uma transformação linear ortogonal.
Resposta
A transformação linear
é ortogonal.