Quais das transformações lineares são ortogonais. T: R^2 longrightarrow R^2 ; T(x, y)=(-y,-x)

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pergunta quais das transformações lineares são ortogonais. Aqui, a transformação dada é definida por . Vamos precisar entender o que é uma transformação linear ortogonal e como verificar se essa transformação específica é ortogonal.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear ortogonal. Em álgebra linear, uma transformação linear é dita ortogonal se ela preserva os comprimentos dos vetores e o ângulo entre eles. Isso significa que, ao aplicar a qualquer vetor, o resultado terá o mesmo tamanho e direção relativa.
Matematicamente, uma transformação linear é ortogonal se a matriz associada a ela satisfaz , onde é a transposta de e é a matriz identidade.

Passo 3

Vamos representar a transformação T(1, 0) = (-0, -1) = (0, -1) como uma matriz. Para isso, observamos como T(0, 1) = (-1, -0) = (-1, 0) age nos vetores da base canônica:
A = 0 & -1 -1 & 0
Assim, a matriz que representa é:

Passo 4

Agora, vamos verificar se A^T = 0 & -1 -1 & 0 é uma matriz ortogonal. Para isso, precisamos verificar se A^TA = 0 & -1 -1 & 0 0 & -1 -1 & 0 = (0 cdot 0) + (-1 cdot -1) & (0 cdot -1) + (-1 cdot 0) (-1 cdot 0) + (0 cdot -1) & (-1 cdot -1) + (0 cdot 0) = 1 & 0 0 & 1 = I .
Primeiro, encontramos a transposta de :
Note que porque a matriz é simétrica.
Agora, calculamos :

Passo 5

Como , isso confirma que a matriz é ortogonal. Portanto, a transformação é uma transformação linear ortogonal.

Resposta

A transformação linear é ortogonal.

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