Esboce (qualitativamente) os gráficos das soluções da EDO para as seguintes condiçōes iniciais:(e)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar qualitativamente os gráficos das soluções da Equação Diferencial Ordinária (EDO) com a condição inicial . Isso envolve entender como a função se comporta ao longo do tempo com base nessa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na EDO . Aqui, representa a derivada de em relação ao tempo , ou seja, a taxa de variação de . A equação nos diz que essa taxa de variação é igual ao cosseno de .

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos de equilíbrio da equação. Pontos de equilíbrio são valores de onde , ou seja, onde não há variação. Então, resolvemos:
Sabemos que quando , onde é um inteiro. Portanto, os pontos de equilíbrio são , , , e assim por diante.

Passo 4

Agora, vamos analisar o comportamento de em torno desses pontos de equilíbrio. Se , está aumentando; se , está diminuindo.
  • Entre e , é negativa, então , e está diminuindo.
  • Entre e , é positiva, então , e está aumentando.

Passo 5

Dada a condição inicial , começamos exatamente em um ponto de equilíbrio. Isso significa que, nesse ponto, a taxa de variação é zero, então permanece constante. Portanto, para todo .

Resposta

A solução é a função constante para todo .

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