Esboce (qualitativamente) os gráficos das soluções
da EDO
para as seguintes condiçōes iniciais:(e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar qualitativamente os gráficos das soluções da Equação Diferencial Ordinária (EDO)
com a condição inicial
. Isso envolve entender como a função
se comporta ao longo do tempo com base nessa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na EDO
. Aqui,
representa a derivada de
em relação ao tempo
, ou seja, a taxa de variação de
. A equação nos diz que essa taxa de variação é igual ao cosseno de
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos de equilíbrio da equação. Pontos de equilíbrio são valores de
onde
, ou seja, onde não há variação. Então, resolvemos:
Sabemos que
quando
, onde
é um inteiro. Portanto, os pontos de equilíbrio são
,
,
, e assim por diante.
Passo 4
Agora, vamos analisar o comportamento de
em torno desses pontos de equilíbrio. Se
,
está aumentando; se
,
está diminuindo.
- Entre
e , é negativa, então , e está diminuindo. - Entre
e , é positiva, então , e está aumentando.
Passo 5
Dada a condição inicial
, começamos exatamente em um ponto de equilíbrio. Isso significa que, nesse ponto, a taxa de variação é zero, então
permanece constante. Portanto,
para todo
.
Resposta
A solução é a função constante
para todo
.
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