Esboce (qualitativamente) os gráficos das soluções
da EDO
para as seguintes condiçōes iniciais:(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício! A gente precisa esboçar qualitativamente o gráfico das soluções da Equação Diferencial Ordinária (EDO)
com a condição inicial
. Para isso, vamos usar conceitos de EDOs, como pontos de equilíbrio e comportamento das soluções.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que a EDO
está nos dizendo.
representa a taxa de variação de
em relação ao tempo
. Então, a equação relaciona essa taxa com o cosseno de
.
Passo 3
O próximo passo é encontrar os pontos de equilíbrio. Esses são os valores de
para os quais
. Ou seja, precisamos resolver
.
Então, os pontos de equilíbrio são
, onde
é um inteiro.
Passo 4
Agora, vamos analisar o comportamento das soluções em torno desses pontos de equilíbrio. Observamos que:
- Se
, então , o que significa que está aumentando. - Se
, então , o que significa que está diminuindo.
Passo 5
Vamos focar na condição inicial
. Esse valor é um ponto de equilíbrio, já que
.
Passo 6
Como
está exatamente em um ponto de equilíbrio
, a solução
não vai se afastar desse ponto. Ou seja,
permanece constante para todo
.
Passo 7
Portanto, o gráfico de
será uma linha horizontal passando por
.
Resposta
A solução
para
com
é constante, ou seja,
para todo
. O gráfico é uma linha horizontal no valor
.
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Um tanque com capacidade para 180 litros tem inicialmente 80 litros de fluido nos quais 4 g de sal são dissolvidos. Uma solução salina contendo
de sal por litro é bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 4 litros por minuto. A mistura é então drenada a uma taxa de 3 litros por minuto. Descubra quantos gramas de sal haverá no tanque quando ele atingir sua capacidade máxima.