Esboce (qualitativamente) os gráficos das soluções x(t) da EDO x'(t) = cos(x) para as seguintes condiçōes iniciais:(a) x(0) = -pi/2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício! A gente precisa esboçar qualitativamente o gráfico das soluções da Equação Diferencial Ordinária (EDO) com a condição inicial . Para isso, vamos usar conceitos de EDOs, como pontos de equilíbrio e comportamento das soluções.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a EDO está nos dizendo. representa a taxa de variação de em relação ao tempo . Então, a equação relaciona essa taxa com o cosseno de .

Passo 3

O próximo passo é encontrar os pontos de equilíbrio. Esses são os valores de para os quais . Ou seja, precisamos resolver .
Então, os pontos de equilíbrio são , onde é um inteiro.

Passo 4

Agora, vamos analisar o comportamento das soluções em torno desses pontos de equilíbrio. Observamos que:
  • Se , então , o que significa que está aumentando.
  • Se , então , o que significa que está diminuindo.

Passo 5

Vamos focar na condição inicial . Esse valor é um ponto de equilíbrio, já que .

Passo 6

Como está exatamente em um ponto de equilíbrio , a solução não vai se afastar desse ponto. Ou seja, permanece constante para todo .

Passo 7

Portanto, o gráfico de será uma linha horizontal passando por .

Resposta

A solução para com é constante, ou seja, para todo . O gráfico é uma linha horizontal no valor .

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