Resolva as equações via redução de ordem:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
. O conteúdo aqui envolve equações diferenciais lineares de segunda ordem e o método de redução de ordem. Já temos uma solução conhecida,
, que vai ajudar a encontrar a segunda solução.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão. Dividindo toda a equação por
, temos:
Isso deixa claro que é uma equação linear de segunda ordem.
Passo 3
Como já conhecemos uma solução
, vamos buscar a segunda solução
na forma:
Onde
é uma função que precisamos determinar.
Passo 4
Substituímos
na equação original. Calculando as derivadas:
Essas derivadas serão usadas na equação diferencial.
Passo 5
Substituindo
,
e
na equação padrão:
Depois de simplificar, vamos obter uma equação para
.
Passo 6
Após simplificar, a equação para
fica:
Simplificando os termos:
Essa é uma equação diferencial de primeira ordem para
.
Passo 7
Vamos fazer uma substituição: deixe
. A equação fica:
Essa é uma equação linear de primeira ordem que podemos resolver usando fator integrante.
Passo 8
O fator integrante
é dado por:
Multiplicamos a equação por
:
Isso simplifica para:
Passo 9
Integrando ambos os lados:
Então:
Lembrando que
, temos:
Passo 10
Integrando
para encontrar
:
Fazendo uma substituição
, a integral se simplifica e encontramos:
Onde
é a constante de integração.
Passo 11
Portanto, a segunda solução é:
Como
já é uma solução, a parte com
é redundante. Então, a solução independente é:
Resposta
A segunda solução da equação dada é:
Portanto, a solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
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é
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Esboce a regiào cuja área é dada pela integral e calcule-a:
.