Resolva as equações via redução de ordem:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial: . O conteúdo aqui envolve equações diferenciais lineares de segunda ordem e o método de redução de ordem. Já temos uma solução conhecida, , que vai ajudar a encontrar a segunda solução.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão. Dividindo toda a equação por , temos:
Isso deixa claro que é uma equação linear de segunda ordem.

Passo 3

Como já conhecemos uma solução , vamos buscar a segunda solução na forma:
Onde é uma função que precisamos determinar.

Passo 4

Substituímos na equação original. Calculando as derivadas:
Essas derivadas serão usadas na equação diferencial.

Passo 5

Substituindo , e na equação padrão:
Depois de simplificar, vamos obter uma equação para .

Passo 6

Após simplificar, a equação para fica:
Simplificando os termos:
Essa é uma equação diferencial de primeira ordem para .

Passo 7

Vamos fazer uma substituição: deixe . A equação fica:
Essa é uma equação linear de primeira ordem que podemos resolver usando fator integrante.

Passo 8

O fator integrante é dado por:
Multiplicamos a equação por :
Isso simplifica para:

Passo 9

Integrando ambos os lados:
Então:
Lembrando que , temos:

Passo 10

Integrando para encontrar :
Fazendo uma substituição , a integral se simplifica e encontramos:
Onde é a constante de integração.

Passo 11

Portanto, a segunda solução é:
Como já é uma solução, a parte com é redundante. Então, a solução independente é:

Resposta

A segunda solução da equação dada é:
Portanto, a solução geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes arbitrárias.

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