Esboce a região cuja área é dada pela integral

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente esboçar a região cuja área é dada por uma integral dupla em coordenadas polares:
Isso significa que vamos precisar entender as variáveis envolvidas nas coordenadas polares e como os limites de integração definem a área que queremos desenhar.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para os limites de integração. A variável θ (theta) vai de π/2 a π. Em coordenadas polares, θ representa o ângulo a partir do eixo positivo x. Então, θ = π/2 fica no eixo positivo y, e θ = π fica no eixo negativo x. Isso quer dizer que estamos considerando uma área que vai do topo para a esquerda no sistema de coordenadas.

Passo 3

Agora, olhemos para o limite de r, que vai de 0 a 2 senθ. Aqui, r é a distância do ponto até a origem. A equação r = 2 senθ é famosa por representar um círculo no plano polar.
Para entender melhor, vamos rearranjar essa equação para coordenadas cartesianas. Sabemos que:
Substituindo, temos:
Simplificando:
Isso é a equação de um círculo com raio 1, centrado no ponto (0,1).

Passo 4

Voltando aos limites de θ, lembramos que θ vai de π/2 a π. No círculo r = 2 senθ, isso significa que estamos olhando apenas para a parte do círculo que fica na segunda quadrante (esquerda do eixo y) e no topo do eixo y.
Portanto, a região que queremos esboçar é a parte do círculo com centro em (0,1) e raio 1 que está entre os ângulos π/2 e π.

Passo 5

Para esboçar, imagine um círculo com centro na parte de cima do eixo y (0,1) e raio 1. A região que estamos interessados é a metade esquerda desse círculo, que vai do ponto mais alto no eixo y (quando θ = π/2) até o ponto mais à esquerda no eixo x (quando θ = π).

Resposta

A região é a metade esquerda de um círculo de raio 1 centrado em (0,1) no plano cartesiano, delimitada pelos ângulos de π/2 a π em coordenadas polares.

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