Por meio de coordenadas polares, encontre o volume do sólido . : delimitado pelo cone e o cilindro
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrarmos o volume de um sólido chamado , que é delimitado por duas superfícies: um cone dado por e um cilindro dado por . Vamos usar coordenadas polares para resolver isso. Para isso, vamos precisar entender como converter as equações para coordenadas polares e configurar uma integral para calcular o volume.
Passo 2
Primeiro, vamos converter as equações dadas para coordenadas polares. Nas coordenadas polares, temos:
Vamos começar com o cilindro . Substituindo em coordenadas polares:
Isso significa que o cilindro é representado por em coordenadas polares.
Passo 3
Agora, vamos analisar o cone . Substituindo por :
Como estamos calculando volume, vamos considerar apenas a parte superior do cone, ou seja, .
Passo 4
Para encontrar o volume do sólido , precisamos determinar os limites de integração. Em coordenadas polares, o volume pode ser calculado pela integral tripla:
Como estamos usando coordenadas polares, o elemento de volume é dado por .
Passo 5
Vamos definir os limites de integração:
varia onde o cilindro é válido. Sabemos que é positivo quando .
Para cada , varia de até .
Para cada , varia de até (já que é o limite superior do cone).
Passo 6
Agora, montamos a integral para o volume:
Vamos resolver a integral passo a passo.
Passo 7
Primeiro, integramos em relação a :
Agora, a integral fica:
Passo 8
Integrando em relação a r:
Substituindo de volta na integral:
Passo 9
Para resolver a integral de , podemos usar a identidade trigonométrica: