Por meio de coordenadas polares, encontre o volume do sólido Q.
Q : delimitado pelo cone z^2 = x^2 + y^2 e o cilindro x^2 + y^2 = x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrarmos o volume de um sólido chamado Q, que é delimitado por duas superfícies: um cone dado por e um cilindro dado por . Vamos usar coordenadas polares para resolver isso. Para isso, vamos precisar entender como converter as equações para coordenadas polares e configurar uma integral para calcular o volume.

Passo 2

Primeiro, vamos converter as equações dadas para coordenadas polares. Nas coordenadas polares, temos:
Vamos começar com o cilindro . Substituindo em coordenadas polares:
Isso significa que o cilindro é representado por em coordenadas polares.

Passo 3

Agora, vamos analisar o cone . Substituindo por r^2:
Como estamos calculando volume, vamos considerar apenas a parte superior do cone, ou seja, .

Passo 4

Para encontrar o volume do sólido Q, precisamos determinar os limites de integração. Em coordenadas polares, o volume pode ser calculado pela integral tripla:
Como estamos usando coordenadas polares, o elemento de volume é dado por .

Passo 5

Vamos definir os limites de integração:
  • theta varia onde o cilindro é válido. Sabemos que é positivo quando .
  • Para cada theta, r varia de 0 até .
  • Para cada r, z varia de 0 até r (já que é o limite superior do cone).

Passo 6

Agora, montamos a integral para o volume:
Vamos resolver a integral passo a passo.

Passo 7

Primeiro, integramos em relação a z:
Agora, a integral fica:

Passo 8

Integrando em relação a r:
Substituindo de volta na integral:

Passo 9

Para resolver a integral de , podemos usar a identidade trigonométrica:
Então,
Vamos resolver cada parte:
  1. Para , fazemos a substituição , :
Então,

Passo 10

Aplicando os limites de a pi / 2:
Calculando em pi / 2:
Calculando em :
Então,

Passo 11

Agora, substituímos de volta no volume:

Resposta

O volume do sólido Q é 4/9 unidades cúbicas.

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