Por meio de coordenadas polares, encontre o volume do sólido
.
: maior região interior à esfera
e ao cilindro
Passo 1
Vamos lá! Temos que encontrar o volume do sólido
, que é a maior região dentro da esfera definida por
e também dentro do cilindro
. Para resolver isso, vamos utilizar coordenadas polares (também conhecidas como coordenadas cilíndricas) e aplicar conceitos de cálculo integral.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor as equações que descrevem a esfera e o cilindro.
Esfera:
Essa é uma esfera com centro na origem e raio
.
Cilindro:
Vamos reescrever a equação do cilindro para facilitar a conversão para coordenadas polares:
Isso mostra que o cilindro tem raio
e está deslocado ao longo do eixo
para
.
Passo 3
Agora, vamos converter para coordenadas polares. Nas coordenadas polares, temos:
Substituindo na equação do cilindro:
Então, o limite para
vai de 0 até
.
Para
, como o cilindro está simétrico em torno do eixo
, os ângulos relevantes são de 0 a
.
Para
, a esfera nos dá:
Passo 4
Vamos agora montar a integral para calcular o volume
usando coordenadas cilíndricas:
Primeiro, integramos em relação a
:
Agora, a integral fica:
Vamos resolver a integral interna em
. Fazendo uma substituição
, conseguimos:
Aplicando os limites de 0 a
:
Substituindo de volta na integral:
Sabemos que:
(porque é uma função ímpar em relação a
)
Portanto:
Resposta
O volume do sólido
é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Por meio de coordenadas polares, encontre o volume do sólido
.
: delimitado pelo cone
e o cilindro
Por meio de coordenadas polares, calcule a integral
Esboce a região cuja área é dada pela integral
Nos seguintes problemas, determine se as sequências convergem ou divergem. Se convergirem, determine o limite: