Por meio de coordenadas polares, encontre o volume do sólido .
: maior região interior à esfera e ao cilindro

Passo 1

Vamos lá! Temos que encontrar o volume do sólido , que é a maior região dentro da esfera definida por e também dentro do cilindro . Para resolver isso, vamos utilizar coordenadas polares (também conhecidas como coordenadas cilíndricas) e aplicar conceitos de cálculo integral.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor as equações que descrevem a esfera e o cilindro.
Esfera:
Essa é uma esfera com centro na origem e raio .
Cilindro:
Vamos reescrever a equação do cilindro para facilitar a conversão para coordenadas polares:
Isso mostra que o cilindro tem raio e está deslocado ao longo do eixo para .

Passo 3

Agora, vamos converter para coordenadas polares. Nas coordenadas polares, temos:
Substituindo na equação do cilindro:
Então, o limite para vai de 0 até .
Para , como o cilindro está simétrico em torno do eixo , os ângulos relevantes são de 0 a .
Para , a esfera nos dá:

Passo 4

Vamos agora montar a integral para calcular o volume usando coordenadas cilíndricas:
Primeiro, integramos em relação a :
Agora, a integral fica:
Vamos resolver a integral interna em . Fazendo uma substituição , conseguimos:
Aplicando os limites de 0 a :
Substituindo de volta na integral:
Sabemos que:
(porque é uma função ímpar em relação a )
Portanto:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

Exercícios relacionados

Por meio de coordenadas polares, encontre o volume do sólido .
: delimitado pelo cone e o cilindro
Por meio de coordenadas polares, calcule a integral
Esboce a região cuja área é dada pela integral
Nos seguintes problemas, determine se as sequências convergem ou divergem. Se convergirem, determine o limite: