Por meio de coordenadas polares, calcule a integral
, em que
é a região limitada pelo círculo
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla usando coordenadas polares! O enunciado pede para calcular a integral de
sobre a região
que é um círculo definido por
. Para isso, vamos precisar entender como mudar para coordenadas polares e usar algumas fórmulas de integração nessa nova coordenada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em coordenadas polares,
e
. Isso significa que
. Então, a expressão
vira
, que simplifica para
.
Passo 3
Agora, na mudança para coordenadas polares, o elemento de área
se transforma em
. Então, nossa integral original
passa a ser
.
Passo 4
Agora, precisamos definir os limites de integração. Como
é o círculo
, em coordenadas polares isso corresponde a
de 0 a 2 (já que
) e
varia de 0 a
para cobrir todo o círculo.
Passo 5
Vamos montar a integral com esses limites:
Primeiro, resolvemos a integral interna em relação a
:
Passo 6
Agora, substituímos esse resultado na integral externa:
Resposta
A integral vale
.
Exercícios relacionados
Por meio de coordenadas polares, calcule a integral
, em que
é a região anular limitada por
e
Esboce a região cuja área é dada pela integral
Por meio de coordenadas polares, calcule a integral
, em que
é a região limitada pelo triângulo de vértices
e
Por meio de coordenadas polares, calcule a integral