Por meio de coordenadas polares, calcule a integral
integral duplaR(x^2+y^2)^3 / 2 d A, em que R é a região limitada pelo círculo x^2+y^2=4

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla usando coordenadas polares! O enunciado pede para calcular a integral de sobre a região que é um círculo definido por . Para isso, vamos precisar entender como mudar para coordenadas polares e usar algumas fórmulas de integração nessa nova coordenada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em coordenadas polares, e . Isso significa que . Então, a expressão vira , que simplifica para .

Passo 3

Agora, na mudança para coordenadas polares, o elemento de área se transforma em . Então, nossa integral original passa a ser .

Passo 4

Agora, precisamos definir os limites de integração. Como é o círculo , em coordenadas polares isso corresponde a de 0 a 2 (já que ) e varia de 0 a para cobrir todo o círculo.

Passo 5

Vamos montar a integral com esses limites:
integral0^2pi integral0^2 r^4 dr dtheta
Primeiro, resolvemos a integral interna em relação a integral0^2 r^4 dr = [r^55]0^2 = 2^55 - 0 = 325 :

Passo 6

Agora, substituímos esse resultado na integral externa:
integral0^2pi 325 dtheta = 325 integral0^2pi dtheta = 325 cdot 2pi = 64pi5

Resposta

A integral vale .

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