Esboce a região cuja área com sinal é representada pela integral definida e calcule a integral usando uma fórmula apropriada de Geometria quando for necessário.
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para a gente esboçar a região representada pela integral definida e calcular essa integral usando uma fórmula de geometria. A integral que temos é
. Vamos precisar lembrar como calcular integrais definidas e entender o que essa integral representa geometricamente.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que a integral
significa. Essa integral representa a área com sinal sob a curva da função
entre os limites
e
. Como
é uma reta que passa pela origem com inclinação 1, entre
e
a função está abaixo do eixo
, então a área será negativa.
Passo 3
Para calcular essa integral, precisamos achar uma antiderivada de
. Sabemos que a antiderivada de
é
. Então, aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo, que diz que:
Onde
é a antiderivada de
.
Passo 4
Aplicando isso à nossa integral:
Calculando os valores:
Resposta
A integral
é igual a
.
Exercícios relacionados
Suponha que
seja uma função para a qual
Use essa informação para calcular as integrais definidas.
(d)
(d)
Um sólido
é gerado fazendo girar em torno do eixo
a região delimitada pela reta
e a curva
.
(b) Uma expressão integral para o volume de é .
(b) Uma expressão integral para o volume de
Um sólido
é gerado fazendo girar em torno do eixo
a região delimitada pelo eixo
e pela curva
.
© valor da integral em (b) é
.
©
Um sólido
se estende ao longo do eixo
de
até
. Dado
entre 1 e 3, a área da seção transversal de
perpendicular ao eixo
é
. Uma expressão integral para o volume de
é
. O valor dessa integral é .