Esboce a região cuja área com sinal é representada pela integral definida e calcule a integral usando uma fórmula apropriada de Geometria quando for necessário.
(b)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para a gente esboçar a região representada pela integral definida e calcular essa integral usando uma fórmula de geometria. A integral que temos é . Vamos precisar lembrar como calcular integrais definidas e entender o que essa integral representa geometricamente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a integral significa. Essa integral representa a área com sinal sob a curva da função entre os limites e . Como é uma reta que passa pela origem com inclinação 1, entre e a função está abaixo do eixo , então a área será negativa.

Passo 3

Para calcular essa integral, precisamos achar uma antiderivada de . Sabemos que a antiderivada de é . Então, aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo, que diz que:
Onde é a antiderivada de .

Passo 4

Aplicando isso à nossa integral:
Calculando os valores:

Resposta

A integral é igual a .

Exercícios relacionados

Suponha que seja uma função para a qual
Use essa informação para calcular as integrais definidas.
(d)
Um sólido é gerado fazendo girar em torno do eixo a região delimitada pela reta e a curva .
(b) Uma expressão integral para o volume de é .
Um sólido é gerado fazendo girar em torno do eixo a região delimitada pelo eixo e pela curva .
© valor da integral em (b) é .
Um sólido se estende ao longo do eixo de até . Dado entre 1 e 3, a área da seção transversal de perpendicular ao eixo é . Uma expressão integral para o volume de é . O valor dessa integral é .