Esboce a região cuja área com sinal é representada pela integral definida e calcule a integral usando uma fórmula apropriada de Geometria quando for necessário.
(b) integral-2^-1 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para a gente esboçar a região representada pela integral definida e calcular essa integral usando uma fórmula de geometria. A integral que temos é integral-2^-1 x , dx. Vamos precisar lembrar como calcular integrais definidas e entender o que essa integral representa geometricamente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a integral integral-2^-1 x , dx significa. Essa integral representa a área com sinal sob a curva da função f(x) = x entre os limites x = -2 e x = -1. Como f(x) = x é uma reta que passa pela origem com inclinação 1, entre x = -2 e x = -1 a função está abaixo do eixo x, então a área será negativa.

Passo 3

Para calcular essa integral, precisamos achar uma antiderivada de f(x) = x. Sabemos que a antiderivada de x é x^22. Então, aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo, que diz que:
integrala^b f(x) , dx = F(b) - F(a)
Onde F(x) é a antiderivada de f(x).

Passo 4

Aplicando isso à nossa integral:
integral-2^-1 x , dx = [ x^22 ]-2^-1 = (-1)^22 - (-2)^22
Calculando os valores:
12 - 42 = 12 - 2 = -32

Resposta

A integral integral-2^-1 x , dx é igual a -32.

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