Um sólido
é gerado fazendo girar em torno do eixo
a região delimitada pela reta
e a curva
.
(b) Uma expressão integral para o volume de
é .
(b) Uma expressão integral para o volume de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma expressão integral para o volume de um sólido
que é formado girando em torno do eixo
a região delimitada pela reta
e pela parábola
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente o método das cascas cilíndricas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar onde essas duas curvas se interceptam para saber os limites de integração. Igualando as duas equações:
Subtraindo
de ambos os lados:
Fatorando:
Então, as interseções acontecem em
e
. Esses serão nossos limites de integração.
Passo 3
Agora, como vamos girar em torno do eixo
, é mais fácil usar o método das cascas cilíndricas. A fórmula para o volume nesse método é:
Aqui:
-
é a distância da casca até o eixo de rotação. -
é a função que está por cima na região considerada. -
é a função que está por baixo. -
e são os limites de integração, que já identificamos como 0 e 1.
No nosso caso:
Resposta
Portanto, a expressão integral para o volume de
é:
Exercícios relacionados
Um sólido
é gerado fazendo girar em torno do eixo
a região delimitada pelo eixo
e pela curva
.
(a) Dado entre 0 e
, a área da seção transversal de
em
, perpendicular ao eixo
, é
.
(a) Dado
Em cada parte, calcule a integral, sabendo que
(a)
Suponha que
seja uma função para a qual
Use essa informação para calcular as integrais definidas.
(d)
(d)
Esboce a região cuja área com sinal é representada pela integral definida e calcule a integral usando uma fórmula apropriada de Geometria quando for necessário.
(b)
(b)