Um sólido é gerado fazendo girar em torno do eixo a região delimitada pela reta e a curva .
(b) Uma expressão integral para o volume de é .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma expressão integral para o volume de um sólido que é formado girando em torno do eixo a região delimitada pela reta e pela parábola . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente o método das cascas cilíndricas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar onde essas duas curvas se interceptam para saber os limites de integração. Igualando as duas equações:
Subtraindo de ambos os lados:
Fatorando:
Então, as interseções acontecem em e . Esses serão nossos limites de integração.

Passo 3

Agora, como vamos girar em torno do eixo , é mais fácil usar o método das cascas cilíndricas. A fórmula para o volume nesse método é:
Aqui:
  • é a distância da casca até o eixo de rotação.
  • é a função que está por cima na região considerada.
  • é a função que está por baixo.
  • e são os limites de integração, que já identificamos como 0 e 1.
No nosso caso:
  • á

Resposta

Portanto, a expressão integral para o volume de é:

Exercícios relacionados

Um sólido é gerado fazendo girar em torno do eixo a região delimitada pelo eixo e pela curva .
(a) Dado entre 0 e , a área da seção transversal de em , perpendicular ao eixo , é .
Em cada parte, calcule a integral, sabendo que
(a)
Suponha que seja uma função para a qual
Use essa informação para calcular as integrais definidas.
(d)
Esboce a região cuja área com sinal é representada pela integral definida e calcule a integral usando uma fórmula apropriada de Geometria quando for necessário.
(b)