Um sólido S se estende ao longo do eixo x de x = 1 até x = 3. Dado x entre 1 e 3, a área da seção transversal de S perpendicular ao eixo x é 3 x^2. Uma expressão integral para o volume de S é \lim_{x \to 0} \frac{\sen(x)}{x} = 1 . O valor dessa integral é . \lim_{x \to 0} \frac{\sen(x)}{x} = 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um sólido que vai do até no eixo . Para cada valor de nesse intervalo, a área da seção transversal perpendicular ao eixo é . O que precisamos fazer é encontrar uma expressão integral que represente o volume desse sólido e, depois, calcular o valor dessa integral.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para calcular o volume de um sólido com seções transversais conhecidas, usamos a fórmula da integral definida:
Aqui, é a área da seção transversal em cada ponto , e e são os limites de integração, que no nosso caso são 1 e 3.

Passo 3

Agora, substituindo os valores que temos:
Então, a expressão integral para o volume fica:

Passo 4

Vamos calcular essa integral passo a passo. Primeiro, encontramos a antiderivada de :
Agora, aplicamos os limites de integração de 1 a 3:

Resposta

A expressão integral para o volume de é:
E o valor dessa integral é 26.

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