Um sólido
se estende ao longo do eixo
de
até
. Dado
entre 1 e 3, a área da seção transversal de
perpendicular ao eixo
é
. Uma expressão integral para o volume de
é
. O valor dessa integral é .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um sólido
que vai do
até
no eixo
. Para cada valor de
nesse intervalo, a área da seção transversal perpendicular ao eixo
é
. O que precisamos fazer é encontrar uma expressão integral que represente o volume desse sólido e, depois, calcular o valor dessa integral.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para calcular o volume de um sólido com seções transversais conhecidas, usamos a fórmula da integral definida:
Aqui,
é a área da seção transversal em cada ponto
, e
e
são os limites de integração, que no nosso caso são 1 e 3.
Passo 3
Agora, substituindo os valores que temos:
Então, a expressão integral para o volume
fica:
Passo 4
Vamos calcular essa integral passo a passo. Primeiro, encontramos a antiderivada de
:
Agora, aplicamos os limites de integração de 1 a 3:
Resposta
A expressão integral para o volume de
é:
E o valor dessa integral é 26.
Exercícios relacionados
Um sólido
é gerado fazendo girar em torno do eixo
a região delimitada pelo eixo
e pela curva
.
© valor da integral em (b) é
.
©
Esboce a região cuja área com sinal é representada pela integral definida e calcule a integral usando uma fórmula apropriada de Geometria quando for necessário.
(b)
(b)
Um sólido
é gerado fazendo girar em torno do eixo
a região delimitada pela reta
e a curva
.
(a) Dado entre , a área da seção
transversal de em
, perpendicular ao eixo
, é
(a) Dado
transversal de
Suponha que
seja uma função para a qual
Use essa informação para calcular as integrais definidas.
(b)
(b)