Um sólido se estende ao longo do eixo de até . Dado entre 1 e 3, a área da seção transversal de perpendicular ao eixo é . Uma expressão integral para o volume de é . O valor dessa integral é .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um sólido que vai do até no eixo . Para cada valor de nesse intervalo, a área da seção transversal perpendicular ao eixo é . O que precisamos fazer é encontrar uma expressão integral que represente o volume desse sólido e, depois, calcular o valor dessa integral.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para calcular o volume de um sólido com seções transversais conhecidas, usamos a fórmula da integral definida:
Aqui, é a área da seção transversal em cada ponto , e e são os limites de integração, que no nosso caso são 1 e 3.

Passo 3

Agora, substituindo os valores que temos:
Então, a expressão integral para o volume fica:

Passo 4

Vamos calcular essa integral passo a passo. Primeiro, encontramos a antiderivada de :
Agora, aplicamos os limites de integração de 1 a 3:

Resposta

A expressão integral para o volume de é:
E o valor dessa integral é 26.

Exercícios relacionados

Um sólido é gerado fazendo girar em torno do eixo a região delimitada pelo eixo e pela curva .
© valor da integral em (b) é .
Esboce a região cuja área com sinal é representada pela integral definida e calcule a integral usando uma fórmula apropriada de Geometria quando for necessário.
(b)
Um sólido é gerado fazendo girar em torno do eixo a região delimitada pela reta e a curva .
(a) Dado entre , a área da seção
transversal de em , perpendicular ao eixo , é
Suponha que seja uma função para a qual
Use essa informação para calcular as integrais definidas.
(b)