Esboce a região cuja área com sinal é representada pela integral definida e calcule a integral usando uma fórmula apropriada de Geometria quando for necessário.
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral definida
. Esse exercício faz parte da matéria de Cálculo, mais especificamente sobre integrais definidas e áreas sob curvas. Para resolver, vamos precisar entender o gráfico da função
e como calcular a área abaixo dela entre os limites de 0 e
.
Passo 2
Primeiro, vamos esboçar o gráfico da função
no intervalo de
a
. Sabemos que
e
. O gráfico começa no ponto (0,1), desce passando por (π/2,0) e vai até (
, -1). Assim, a curva começa acima do eixo
, cruza para baixo e termina abaixo.
Passo 3
A integral definida
representa a área líquida entre a curva
e o eixo
de
a
. Como a função
é positiva de
a
e negativa de
a
, vamos dividir a integral em duas partes para calcular as áreas separadamente.
Passo 4
Vamos calcular a integral em duas partes:
- De
a , onde é positiva. - De
a , onde é negativa.
Isso fica assim:
Passo 5
Agora, vamos integrar cada parte:
-
- Aplicando os limites:
Para
a
:
Para
a
:
Passo 6
Somando as duas partes:
Isso significa que a área positiva e a área negativa se cancelam, resultando em uma integral igual a zero.
Resposta
Exercícios relacionados
Suponha que
seja uma função para a qual
Use essa informação para calcular as integrais definidas.
(b)
(b)
Um sólido
é gerado fazendo girar em torno do eixo
a região delimitada pela reta
e a curva
.
(a) Dado entre , a área da seção
transversal de em
, perpendicular ao eixo
, é
(a) Dado
transversal de
Um sólido
é gerado fazendo girar em torno do eixo
a região delimitada pela reta
e a curva
.
(b) Uma expressão integral para o volume de é
(b) Uma expressão integral para o volume de
Seja
o volume do sólido que resulta quando a região delimitada por
e
gira em torno do eixo
. Encontre o valor de
para o qual
.