Esboce a região cuja área com sinal é representada pela integral definida e calcule a integral usando uma fórmula apropriada de Geometria quando for necessário.
(b)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida . Esse exercício faz parte da matéria de Cálculo, mais especificamente sobre integrais definidas e áreas sob curvas. Para resolver, vamos precisar entender o gráfico da função e como calcular a área abaixo dela entre os limites de 0 e .

Passo 2

Primeiro, vamos esboçar o gráfico da função no intervalo de a . Sabemos que e . O gráfico começa no ponto (0,1), desce passando por (π/2,0) e vai até ( , -1). Assim, a curva começa acima do eixo , cruza para baixo e termina abaixo.

Passo 3

A integral definida representa a área líquida entre a curva e o eixo de a . Como a função é positiva de a e negativa de a , vamos dividir a integral em duas partes para calcular as áreas separadamente.

Passo 4

Vamos calcular a integral em duas partes:
  1. De a , onde é positiva.
  2. De a , onde é negativa.
Isso fica assim:

Passo 5

Agora, vamos integrar cada parte:
  1. Aplicando os limites:
Para a :
Para a :

Passo 6

Somando as duas partes:
Isso significa que a área positiva e a área negativa se cancelam, resultando em uma integral igual a zero.

Resposta

Exercícios relacionados

Suponha que seja uma função para a qual
Use essa informação para calcular as integrais definidas.
(b)
Um sólido é gerado fazendo girar em torno do eixo a região delimitada pela reta e a curva .
(a) Dado entre , a área da seção
transversal de em , perpendicular ao eixo , é
Um sólido é gerado fazendo girar em torno do eixo a região delimitada pela reta e a curva .
(b) Uma expressão integral para o volume de é
Seja o volume do sólido que resulta quando a região delimitada por e gira em torno do eixo . Encontre o valor de para o qual .