Esboce a região cuja área com sinal é representada pela integral definida e calcule a integral usando uma fórmula apropriada de Geometria quando for necessário.
(b) integral0^pi cos x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida . Esse exercício faz parte da matéria de Cálculo, mais especificamente sobre integrais definidas e áreas sob curvas. Para resolver, vamos precisar entender o gráfico da função e como calcular a área abaixo dela entre os limites de 0 e .

Passo 2

Primeiro, vamos esboçar o gráfico da função no intervalo de a . Sabemos que e . O gráfico começa no ponto (0,1), desce passando por (π/2,0) e vai até ( , -1). Assim, a curva começa acima do eixo , cruza para baixo e termina abaixo.

Passo 3

A integral definida representa a área líquida entre a curva e o eixo de a . Como a função é positiva de a e negativa de a , vamos dividir a integral em duas partes para calcular as áreas separadamente.

Passo 4

Vamos calcular a integral em duas partes:
  1. De integral0^pi cos x , dx = integral0^pi/2 cos x , dx + integralpi/2^pi cos x , dx a , onde é positiva.
  2. De a , onde é negativa.
Isso fica assim:

Passo 5

Agora, vamos integrar cada parte:
  1. sin(pi/2) - sin(0) = 1 - 0 = 1
  2. Aplicando os limites:
Para sin(pi) - sin(pi/2) = 0 - 1 = -1 a :
Para a :

Passo 6

Somando as duas partes:
1 + (-1) = 0
Isso significa que a área positiva e a área negativa se cancelam, resultando em uma integral igual a zero.

Resposta

integral0^pi cos x , dx = 0

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