Um sólido é gerado fazendo girar em torno do eixo a região delimitada pela reta e a curva .
(a) Dado entre , a área da seção
transversal de em , perpendicular ao eixo , é

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um sólido que é formado girando uma região ao redor do eixo . Essa região é delimitada pela reta e pela parábola . O conteúdo que vamos usar aqui é Cálculo, especificamente o método das seções transversais para encontrar a área de uma fatia do sólido perpendicular ao eixo .

Passo 2

Primeiro, precisamos entender como as curvas e se comportam. Vamos resolver essas equações para em função de :
Para a reta:
Para a parábola:
ou

Passo 3

Agora, vamos visualizar a região girada. Ao girar em torno do eixo , cada ponto se transforma em um círculo com raio . Assim, para cada valor de , teremos um anel (ou “washer”) com um raio interno e um raio externo.

Passo 4

O raio externo do anel vem da reta e o raio interno vem da parábola . A área da seção transversal é a diferença entre a área do círculo externo e a área do círculo interno.
A área de um círculo é , então:
Substituindo os valores de :

Passo 5

Simplificando a expressão:

Resposta

A área da seção transversal de em é:

Exercícios relacionados

Um sólido se estende ao longo do eixo de até . Dado entre 1 e 3, a área da seção transversal de perpendicular ao eixo é . Uma expressão integral para o volume de é . O valor dessa integral é .
Um sólido é gerado fazendo girar em torno do eixo a região delimitada pelo eixo e pela curva .
© valor da integral em (b) é .
Suponha que seja uma função para a qual
Use essa informação para calcular as integrais definidas.
(b)
Esboce a região cuja área com sinal é representada pela integral definida e calcule a integral usando uma fórmula apropriada de Geometria quando for necessário.
(b)