Um sólido
é gerado fazendo girar em torno do eixo
a região delimitada pela reta
e a curva
.
(a) Dado
entre , a área da seção
transversal de
em
, perpendicular ao eixo
, é
(a) Dado
transversal de
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um sólido
que é formado girando uma região ao redor do eixo
. Essa região é delimitada pela reta
e pela parábola
. O conteúdo que vamos usar aqui é Cálculo, especificamente o método das seções transversais para encontrar a área
de uma fatia do sólido perpendicular ao eixo
.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender como as curvas
e
se comportam. Vamos resolver essas equações para
em função de
:
Para a reta:
Para a parábola:
Passo 3
Agora, vamos visualizar a região girada. Ao girar em torno do eixo
, cada ponto
se transforma em um círculo com raio
. Assim, para cada valor de
, teremos um anel (ou “washer”) com um raio interno e um raio externo.
Passo 4
O raio externo do anel vem da reta
e o raio interno vem da parábola
. A área da seção transversal
é a diferença entre a área do círculo externo e a área do círculo interno.
A área de um círculo é
, então:
Substituindo os valores de
:
Passo 5
Simplificando a expressão:
Resposta
A área da seção transversal de
em
é:
Exercícios relacionados
Um sólido
se estende ao longo do eixo
de
até
. Dado
entre 1 e 3, a área da seção transversal de
perpendicular ao eixo
é
. Uma expressão integral para o volume de
é
. O valor dessa integral é .
Um sólido
é gerado fazendo girar em torno do eixo
a região delimitada pelo eixo
e pela curva
.
© valor da integral em (b) é
.
©
Suponha que
seja uma função para a qual
Use essa informação para calcular as integrais definidas.
(b)
(b)
Esboce a região cuja área com sinal é representada pela integral definida e calcule a integral usando uma fórmula apropriada de Geometria quando for necessário.
(b)
(b)