Um sólido S é gerado fazendo girar em torno do eixo y a região delimitada pela reta y = x + 1 e a curva y = x^2 + 1.
(a) Dado y entre , a área da seção
transversal de S em y, perpendicular ao eixo y, é A(y) =

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um sólido que é formado girando uma região ao redor do eixo . Essa região é delimitada pela reta e pela parábola . O conteúdo que vamos usar aqui é Cálculo, especificamente o método das seções transversais para encontrar a área de uma fatia do sólido perpendicular ao eixo .

Passo 2

Primeiro, precisamos entender como as curvas e se comportam. Vamos resolver essas equações para em função de :
Para a reta:
Para a parábola:
ou

Passo 3

Agora, vamos visualizar a região girada. Ao girar em torno do eixo , cada ponto se transforma em um círculo com raio . Assim, para cada valor de , teremos um anel (ou “washer”) com um raio interno e um raio externo.

Passo 4

O raio externo do anel vem da reta e o raio interno vem da parábola . A área da seção transversal é a diferença entre a área do círculo externo e a área do círculo interno.
A área de um círculo é , então:
Substituindo os valores de :

Passo 5

Simplificando a expressão:

Resposta

A área da seção transversal de em é:

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