Esboce a região delimitada pelas curvas dadas e encontre a área da região.
e) y = e^x, y = e^(-x), x = -2, x = 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar a região delimitada pelas curvas , , e , e depois calcular a área dessa região. Para isso, vamos usar conhecimentos de gráficos de funções exponenciais e cálculo de áreas por integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como são esses gráficos:
  • : É uma função exponencial crescente. À medida que aumenta, aumenta rapidamente.
  • : Também é uma função exponencial, mas decrescente. Conforme aumenta, diminui.
  • e : São linhas verticais que vão cortar os gráficos das funções nos pontos correspondentes.

Passo 3

Vamos encontrar o ponto de interseção das funções e . Isso acontece quando:
Para resolver isso, podemos tomar o logaritmo natural dos dois lados:
Somando dos dois lados:
Então, as duas curvas se encontram no ponto . Calculando quando :
Portanto, o ponto de interseção é .

Passo 4

Agora, vamos esboçar a região delimitada:
  • Entre e , a curva está acima de .
  • Entre e , a curva está acima de .
Isso significa que a área que queremos calcular está dividida em dois segmentos:
  1. De a , onde subtraímos de .
  2. De a , onde subtraímos de .

Passo 5

Vamos configurar as integrais para calcular a área:
  1. Primeiro segmento ( a ):
Á
  1. Segundo segmento ( a ):
Á

Passo 6

Vamos calcular cada integral separadamente.
  1. Calculando Á:
Avaliado de a :
Á
  1. Calculando Á:
Avaliado de a :
Á

Passo 7

Agora, somamos as duas áreas para obter a área total:
ÁÁÁ
Simplificando:
Á

Resposta

A área da região delimitada pelas curvas é:

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