Esboce a região delimitada pelas curvas dadas e encontre a área da região.
e)
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar a região delimitada pelas curvas
,
,
e
, e depois calcular a área dessa região. Para isso, vamos usar conhecimentos de gráficos de funções exponenciais e cálculo de áreas por integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como são esses gráficos:
-
: É uma função exponencial crescente. À medida que aumenta, aumenta rapidamente. -
: Também é uma função exponencial, mas decrescente. Conforme aumenta, diminui. -
e : São linhas verticais que vão cortar os gráficos das funções nos pontos correspondentes.
Passo 3
Vamos encontrar o ponto de interseção das funções
e
. Isso acontece quando:
Para resolver isso, podemos tomar o logaritmo natural dos dois lados:
Somando
dos dois lados:
Então, as duas curvas se encontram no ponto
. Calculando
quando
:
Portanto, o ponto de interseção é
.
Passo 4
Agora, vamos esboçar a região delimitada:
- Entre
e , a curva está acima de . - Entre
e , a curva está acima de .
Isso significa que a área que queremos calcular está dividida em dois segmentos:
- De
a , onde subtraímos de . - De
a , onde subtraímos de .
Passo 5
Vamos configurar as integrais para calcular a área:
- Primeiro segmento (
a ):
- Segundo segmento (
a ):
Passo 6
Vamos calcular cada integral separadamente.
- Calculando
:
Avaliado de
a
:
- Calculando
:
Avaliado de
a
:
Passo 7
Agora, somamos as duas áreas para obter a área total:
Simplificando:
Resposta
A área da região delimitada pelas curvas é: