Esboce a região delimitada pelas curvas e determine a área da região.
(b)
e
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa primeiro entender o que a questão está pedindo. Temos duas funções:
A tarefa é desenhar ou esboçar a região que essas duas curvas delimitam e depois calcular a área dessa região. Para isso, vamos precisar saber como as duas funções se comportam e onde elas se encontram. Isso envolve um pouco de álgebra e geometria.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as duas curvas se intersectam. Isso significa resolver a equação:
Isso vai nos dar os valores de
onde as duas funções têm o mesmo valor, ou seja, onde as curvas se cruzam.
Passo 3
Vamos resolver a equação:
Subtraindo
de ambos os lados para deixar a equação igualada a zero:
Multiplicando ambos os lados por -1 para facilitar:
Agora, temos uma equação quadrática que podemos resolver usando a fórmula de Bhaskara.
Passo 4
A fórmula de Bhaskara para resolver
é:
No nosso caso,
,
e
. Substituindo esses valores na fórmula:
Isso nos dá duas soluções:
Então, as curvas se intersectam nos pontos
e
.
Passo 5
Agora que sabemos onde as curvas se encontram, vamos entender qual delas está acima da outra nesse intervalo. Para isso, podemos escolher um valor de
entre -2 e 1 e ver qual função tem valor maior.
Vamos escolher, por exemplo,
:
Então, em
,
. Isso significa que
está acima de
nesse intervalo.
Passo 6
Para encontrar a área entre as duas curvas, usamos a seguinte fórmula:
Aqui,
e
. Sabemos que
e
.
Passo 7
Vamos montar a integral:
Passo 8
Agora, vamos integrar cada termo:
Então, a integral completa é:
Passo 9
Vamos calcular essa expressão nos limites de integração
e
:
Para
:
Para
:
Passo 10
Agora, subtraímos o valor em
do valor em
:
Resposta
A área da região delimitada pelas curvas
e
é 4,5 unidades quadradas.