Esboce a região delimitada pelas curvas e determine a área da região.
(b) f(x) = 3 - x^2 e f(x) = x + 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa primeiro entender o que a questão está pedindo. Temos duas funções:
A tarefa é desenhar ou esboçar a região que essas duas curvas delimitam e depois calcular a área dessa região. Para isso, vamos precisar saber como as duas funções se comportam e onde elas se encontram. Isso envolve um pouco de álgebra e geometria.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as duas curvas se intersectam. Isso significa resolver a equação:
Isso vai nos dar os valores de onde as duas funções têm o mesmo valor, ou seja, onde as curvas se cruzam.

Passo 3

Vamos resolver a equação:
Subtraindo de ambos os lados para deixar a equação igualada a zero:
Multiplicando ambos os lados por -1 para facilitar:
Agora, temos uma equação quadrática que podemos resolver usando a fórmula de Bhaskara.

Passo 4

A fórmula de Bhaskara para resolver é:
No nosso caso, , e . Substituindo esses valores na fórmula:
Isso nos dá duas soluções:
Então, as curvas se intersectam nos pontos e .

Passo 5

Agora que sabemos onde as curvas se encontram, vamos entender qual delas está acima da outra nesse intervalo. Para isso, podemos escolher um valor de entre -2 e 1 e ver qual função tem valor maior.
Vamos escolher, por exemplo, :
Então, em , . Isso significa que está acima de nesse intervalo.

Passo 6

Para encontrar a área entre as duas curvas, usamos a seguinte fórmula:
Á
Aqui, e . Sabemos que e .

Passo 7

Vamos montar a integral:
Á
Á
Á

Passo 8

Agora, vamos integrar cada termo:
Então, a integral completa é:
Á

Passo 9

Vamos calcular essa expressão nos limites de integração e :
Para :
Para :

Passo 10

Agora, subtraímos o valor em do valor em :
Á
Á
Á
Á
Á
Á

Resposta

A área da região delimitada pelas curvas e é 4,5 unidades quadradas.

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