Seja
. Determine o valor de:
a)
a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função de duas variáveis,
. A pergunta é para encontrar a terceira derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Isso envolve entender derivadas parciais e como aplicá-las várias vezes seguidas. Vamos precisar usar as regras de derivação para funções com potências e tratar
como constante durante as derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada parcial de
em relação a
, que é
. Lembre-se que, ao derivar em relação a
, tratamos
como uma constante.
Vamos derivar termo a termo:
-
-
(usando a regra da potência) -
-
(porque é constante em relação a ) -
-
Agora, juntando tudo:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a segunda derivada parcial
derivando
novamente em relação a
:
Derivando termo a termo:
-
-
(novamente, regra da potência) -
-
Juntando tudo:
Passo 4
Agora, vamos calcular a terceira derivada parcial
derivando
mais uma vez em relação a
:
Derivando cada termo:
Portanto:
Passo 5
Agora, vamos substituir
e
na expressão de
:
Primeiro, calculamos alguns valores intermediários:
Substituindo esses valores:
Simplificando: