Seja f(x, y) = 6 x^5 y^3 - 4 x y^2 - 6 x y + 6 y + 9 - 2 x^2. Determine o valor de:
a) f_xxx(2,-1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função de duas variáveis, . A pergunta é para encontrar a terceira derivada parcial de em relação a , ou seja, . Isso envolve entender derivadas parciais e como aplicá-las várias vezes seguidas. Vamos precisar usar as regras de derivação para funções com potências e tratar como constante durante as derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada parcial de em relação a , que é . Lembre-se que, ao derivar em relação a , tratamos como uma constante.
Vamos derivar termo a termo:
  1. (usando a regra da potência)
  2. (porque é constante em relação a )
Agora, juntando tudo:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a segunda derivada parcial derivando novamente em relação a :
Derivando termo a termo:
  1. (novamente, regra da potência)
Juntando tudo:

Passo 4

Agora, vamos calcular a terceira derivada parcial derivando mais uma vez em relação a :
Derivando cada termo:
Portanto:

Passo 5

Agora, vamos substituir e na expressão de :
Primeiro, calculamos alguns valores intermediários:
Substituindo esses valores:
Simplificando:

Resposta

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