Esboce a região delimitada pelas curvas indicadas. Decida quando integrar em relação a
ou
. Desenhe um retângulo aproximante típico e identifique sua altura e largura. Então, calcule a área da região.
(g)
(g)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que esboçar a região limitada pelas curvas
e
. Isso envolve entender um pouco de geometria analítica e cálculo integral. Precisamos descobrir onde essas curvas se cruzam, decidir se vamos integrar em relação a
ou
, desenhar um retângulo típico que representa uma fatia da área e, por fim, calcular essa área usando integração.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as duas curvas se encontram. Para isso, igualamos as duas equações:
Substituindo
da primeira equação na segunda, temos:
Resolvendo essa equação quadrática:
Então, os pontos de interseção são
e
.
Passo 3
Com os pontos de interseção em mãos, vamos decidir em relação a qual variável integrar. Olhando para as equações, percebemos que ambas estão resolvidas em relação a
, o que facilita integrar em função de
. Assim, vamos integrar com respeito a
.
Passo 4
Agora, vamos desenhar um retângulo típico para representar uma “fatia” da área entre as curvas. A largura desse retângulo será a diferença entre as funções de
, ou seja,
. A altura será um pequeno intervalo
.
Então, temos:
Passo 5
Para calcular a área, vamos integrar a largura do retângulo de um ponto de interseção ao outro:
Substituindo os limites de integração:
Integrando termo a termo:
Calculando os valores:
Simplificando:
Após simplificar os termos, obtemos o valor numérico da área.
Resposta
A área da região delimitada pelas curvas
e
é aproximadamente
unidades quadradas.