Esboce a região delimitada pelas curvas indicadas. Decida quando integrar em relação a x ou y. Desenhe um retângulo aproximante típico e identifique sua altura e largura. Então, calcule a área da região.
(g) x = 1 - y^2, y = y^2 - 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que esboçar a região limitada pelas curvas e . Isso envolve entender um pouco de geometria analítica e cálculo integral. Precisamos descobrir onde essas curvas se cruzam, decidir se vamos integrar em relação a ou , desenhar um retângulo típico que representa uma fatia da área e, por fim, calcular essa área usando integração.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as duas curvas se encontram. Para isso, igualamos as duas equações:
Substituindo da primeira equação na segunda, temos:
Resolvendo essa equação quadrática:
Então, os pontos de interseção são e .

Passo 3

Com os pontos de interseção em mãos, vamos decidir em relação a qual variável integrar. Olhando para as equações, percebemos que ambas estão resolvidas em relação a , o que facilita integrar em função de . Assim, vamos integrar com respeito a .

Passo 4

Agora, vamos desenhar um retângulo típico para representar uma “fatia” da área entre as curvas. A largura desse retângulo será a diferença entre as funções de , ou seja, . A altura será um pequeno intervalo .
Então, temos:

Passo 5

Para calcular a área, vamos integrar a largura do retângulo de um ponto de interseção ao outro:
Á
Substituindo os limites de integração:
Á
Integrando termo a termo:
Á
Calculando os valores:
Á
Simplificando:
Á
Após simplificar os termos, obtemos o valor numérico da área.

Resposta

A área da região delimitada pelas curvas e é aproximadamente unidades quadradas.

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