Para uma função contínua
escreva a fórmula do volume
do sólido de revolução obtido pela rotação do gráfico de
em torno do eixo
. Depois encontre o volume do sólido de revolução obtido pela rotação do gráfico de
em torno do eixo
para
.
Passo 1
Beleza, vamos começar! O enunciado pede para a gente achar a fórmula do volume
de um sólido de revolução gerado ao girar o gráfico de uma função contínua
no intervalo
em torno do eixo
. Depois, aplicar essa fórmula para a função
no intervalo
.
Vamos usar o Cálculo Integral, especificamente o método dos discos, que nos ajuda a calcular volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o método dos discos. Quando giramos a função
em torno do eixo
, cada pequeno pedaço da função se transforma em um disco. O volume de cada disco pode ser calculado e, somando todos esses volumes infinitesimais, obtemos o volume total do sólido.
Passo 3
A fórmula geral para o volume
usando o método dos discos é dada por:
Aqui,
representa a área da base de cada disco (já que a área de um círculo é
, e o raio
).
Passo 4
Agora, vamos aplicar essa fórmula para a função específica
no intervalo
. Substituindo na fórmula:
Passo 5
Vamos calcular a integral
. A antiderivada de
é
, então:
Calculando os valores:
Então:
Resposta
O volume do sólido de revolução é
unidades cúbicas.