Para uma função contínua f: [a, b] -> R escreva a fórmula do volume V do sólido de revolução obtido pela rotação do gráfico de f em torno do eixo O x. Depois encontre o volume do sólido de revolução obtido pela rotação do gráfico de f(x) = x^2 em torno do eixo O x para x in [-2, 3].

Passo 1

Beleza, vamos começar! O enunciado pede para a gente achar a fórmula do volume de um sólido de revolução gerado ao girar o gráfico de uma função contínua no intervalo em torno do eixo . Depois, aplicar essa fórmula para a função no intervalo .
Vamos usar o Cálculo Integral, especificamente o método dos discos, que nos ajuda a calcular volumes de sólidos de revolução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o método dos discos. Quando giramos a função em torno do eixo , cada pequeno pedaço da função se transforma em um disco. O volume de cada disco pode ser calculado e, somando todos esses volumes infinitesimais, obtemos o volume total do sólido.

Passo 3

A fórmula geral para o volume usando o método dos discos é dada por:
Aqui, representa a área da base de cada disco (já que a área de um círculo é , e o raio ).

Passo 4

Agora, vamos aplicar essa fórmula para a função específica no intervalo . Substituindo na fórmula:

Passo 5

Vamos calcular a integral . A antiderivada de é , então:
Calculando os valores:
Então:

Resposta

O volume do sólido de revolução é unidades cúbicas.

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