Em que pontos (x, y, z) no espaço as funções são contínuas?
  • f(x, y, z) = x^2 + y^2 - 2z^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A pergunta é: em quais pontos no espaço a função é contínua? Vamos usar conceitos de cálculo que tratam da continuidade de funções. Para isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua em um ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade. Uma função é contínua em um ponto se não houver “saltos” ou “quebras” no gráfico dela naquele ponto. Em termos mais técnicos, para que seja contínua em , o limite da função quando se aproxima de deve ser igual ao valor da função nesse ponto.

Passo 3

Agora, vamos analisar a função . Essa é uma função polinomial em três variáveis. As funções polinomiais são formadas por somas e multiplicações de variáveis elevadas a potências inteiras não negativas.

Passo 4

Um ponto chave aqui é que as funções polinomiais são contínuas em todo o seu domínio. Isso significa que, para qualquer valor real de , e , a função não terá descontinuidades. Não há divisão por zero, raízes de números negativos ou qualquer outra operação que possa causar “saltos” na função.

Passo 5

Então, como nossa função é uma combinação de termos , e , todas essas operações são contínuas. Somando e multiplicando funções contínuas, o resultado também é contínuo.

Resposta

A função é contínua para todos os pontos no espaço real.

Exercícios relacionados