Resolva as integrais abaixo: integral-2^0 t raiz3+t^2 d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida . Aqui estamos lidando com integração, mais especificamente com uma integral que envolve uma função polinomial dentro de uma raiz quadrada. Para resolver isso, vamos usar a técnica de substituição, também conhecida como método de mudança de variável.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir . Essa substituição ajuda porque a derivada de em relação a vai simplificar a integral.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de dudt = 2t Rightarrow du = 2t , dt Rightarrow t , dt = du2 em relação a :

Passo 4

Substituindo integral t raiz3 + t^2 , dt = integral t raizu , dt = integral raizu cdot du2 = 12 integral u^1/2 , du e na integral original, temos:

Passo 5

Agora, vamos integrar 12 integral u^1/2 , du = 12 cdot 23 u^3/2 + C = 13 u^3/2 + C em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Vamos voltar para a variável original 13 u^3/2 + C = 13 (3 + t^2)^3/2 + C substituindo :

Passo 7

Agora, aplicamos os limites da integral definida, de 13 (3 + t^2)^3/2 |-2^0 = 13 [ (3 + 0^2)^3/2 - (3 + (-2)^2)^3/2 ] a :

Passo 8

Calculando os valores:
13 [ 3^3/2 - 7^3/2 ] = 13 [ 3raiz3 - 7raiz7 ]

Resposta

O valor da integral é .

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