Reduza as seguintes equações diferenciais à forma canônica e determine as suas soluções quando possível:
u_xx - 2 u_xy + u_yy = 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente reduzir a equação diferencial parcial à forma canônica e determinar suas soluções quando possível. Para isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais parciais de segunda ordem, especificamente a classificação das equações e mudanças de variáveis para simplificar a equação original.

Passo 2

Primeiro, precisamos classificar a equação diferencial dada. Olhando para , identificamos os coeficientes:
  • (coeficiente de )
  • (coeficiente de )
  • (coeficiente de )
Vamos calcular o discriminante para classificar a equação:
Como , a equação é parabolizável.

Passo 3

Agora, para reduzir a equação à forma canônica, precisamos encontrar uma mudança de variáveis que elimine o termo misto . Vamos introduzir novas variáveis e de tal forma que:
Nosso objetivo é escolher e de modo que a terminação do termo misto seja eliminada.

Passo 4

Calculando as derivadas parciais:

Passo 5

Substituindo essas derivadas na equação original:
Agrupando os termos:

Passo 6

Para eliminar o termo misto , queremos que o coeficiente dele seja zero:
Assumindo , temos:

Passo 7

Com , a equação fica:
Isso simplifica para:

Passo 8

A equação canônica é , cuja solução geral é:
Onde e são funções arbitrárias de .

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde e são funções arbitrárias.

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Reduza as seguintes equações diferenciais à forma canônica e determine as suas soluções quando possível:
u_xx + u_xy - 2 u_yy = 0
Esboce a região delimitada pelas curvas indicadas. Decida quando integrar em relação a x ou y. Desenhe um retângulo aproximante típico e identifique sua altura e largura. Então, calcule a área da região.
y=e^x, y=x^2-1, x=-1, x=1
Reduza as seguintes equações diferenciais à forma canônica e determine as suas soluções quando possível:
x u_xy - y u_yy = 0
Reduza as seguintes equações diferenciais à forma canônica e determine as suas soluções quando possível:
u_xx + 2 u_xy + 5 u_yy = 0