Reduza as seguintes equações diferenciais à forma canônica e determine as suas soluções quando possível:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente reduzir a equação diferencial parcial
à forma canônica e determinar suas soluções quando possível. Para isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais parciais de segunda ordem, especificamente a classificação das equações e mudanças de variáveis para simplificar a equação original.
Passo 2
Primeiro, precisamos classificar a equação diferencial dada. Olhando para
, identificamos os coeficientes:
-
(coeficiente de ) -
(coeficiente de ) -
(coeficiente de )
Vamos calcular o discriminante
para classificar a equação:
Como
, a equação é parabolizável.
Passo 3
Agora, para reduzir a equação à forma canônica, precisamos encontrar uma mudança de variáveis que elimine o termo misto
. Vamos introduzir novas variáveis
e
de tal forma que:
Nosso objetivo é escolher
e
de modo que a terminação do termo misto seja eliminada.
Passo 4
Calculando as derivadas parciais:
Passo 5
Substituindo essas derivadas na equação original:
Agrupando os termos:
Passo 6
Para eliminar o termo misto
, queremos que o coeficiente dele seja zero:
Assumindo
, temos:
Passo 7
Com
, a equação fica:
Isso simplifica para:
Passo 8
A equação canônica é
, cuja solução geral é:
Onde
e
são funções arbitrárias de
.
Resposta
A solução geral da equação diferencial
é:
onde
e
são funções arbitrárias.
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ou
. Desenhe um retângulo aproximante típico e identifique sua altura e largura. Então, calcule a área da região.
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