Esboce a região delimitada pelas curvas indicadas. Decida quando integrar em relação a ou . Então, calcule a área da região.
b.
Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para a gente esboçar a região delimitada pelas curvas dadas e calcular a área dessa região. Estamos lidando com o estudo de áreas entre curvas, que é um conteúdo de cálculo. Para resolver isso, vamos precisar entender as funções que nos foram apresentadas: e , além das linhas verticais que delimitam a região: e .
Passo 2
Primeiro, vamos esboçar as curvas. A função é a famosa função seno, que oscila entre 0 e 1 no intervalo de a . A função é uma reta que cresce linearmente. Os limites dados, e , nos mostram que a área que queremos calcular está entre esses dois valores de .
Para desenhar isso em um gráfico, você teria:
A curva do seno, que começa em , chega a e depois volta a descer até .
A reta , que passa pelos pontos , e .
Agora, se você comparar os valores de entre essas duas funções no intervalo que estamos analisando, verá que, entre e , a função reta está acima da função . Então a área que queremos achar está entre essas duas curvas.
Passo 3
Agora vamos calcular a área dessa região. Para isso, utilizamos a integral definida. A área entre duas curvas é dada por:
onde é a função que está em cima e é a função que está embaixo.
Aqui, temos:
(a reta)
Assim, a integral para a área de até fica:
Passo 4
Agora, vamos calcular essa integral. Precisamos resolver a integral separadamente:
A integral de de a :
Agora, a integral de de a :
Agora, juntamos tudo na fórmula da área:
Resposta
Assim, a área da região delimitada pelas curvas é: