Esboce a região delimitada pelas curvas indicadas. Decida quando integrar em relação a x ou y. Então, calcule a área da região.
b. y=sen x, y=x, x=pi / 2, x=pi

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para a gente esboçar a região delimitada pelas curvas dadas e calcular a área dessa região. Estamos lidando com o estudo de áreas entre curvas, que é um conteúdo de cálculo. Para resolver isso, vamos precisar entender as funções que nos foram apresentadas: y = sin x e y = x, além das linhas verticais que delimitam a região: x = pi2 e x = pi.

Passo 2

Primeiro, vamos esboçar as curvas. A função y = sin x é a famosa função seno, que oscila entre 0 e 1 no intervalo de x = 0 a x = pi. A função y = x é uma reta que cresce linearmente. Os limites dados, x = pi2 e x = pi, nos mostram que a área que queremos calcular está entre esses dois valores de x.
Para desenhar isso em um gráfico, você teria:
  • A curva do seno, que começa em (0,0), chega a (pi2, 1) e depois volta a descer até (pi, 0).
  • A reta y = x, que passa pelos pontos (0,0), (pi2, pi2) e (pi, pi).
Agora, se você comparar os valores de y entre essas duas funções no intervalo que estamos analisando, verá que, entre x = pi2 e x = pi, a função reta y = x está acima da função y = sin x. Então a área que queremos achar está entre essas duas curvas.

Passo 3

Agora vamos calcular a área dessa região. Para isso, utilizamos a integral definida. A área A entre duas curvas é dada por:
A = integrala^b (f(x) - g(x)) , dx
onde f(x) é a função que está em cima e g(x) é a função que está embaixo.
Aqui, temos:
  • f(x) = x (a reta)
  • g(x) = sin x
Assim, a integral para a área de x = pi2 até x = pi fica:
A = integralpi2^pi (x - sin x) , dx

Passo 4

Agora, vamos calcular essa integral. Precisamos resolver a integral separadamente:
  1. A integral de x de pi2 a pi:
    integral x , dx = x^22 |pi2^pi = pi^22 - (pi2)^22 = pi^22 - pi^28 = 4pi^28 - pi^28 = 3pi^28
  2. Agora, a integral de sin x de pi2 a pi:
    integral sin x , dx = -cos x |pi2^pi = -cos(pi) - (-cos(pi2)) = -(-1) - (0) = 1
Agora, juntamos tudo na fórmula da área:
A = ( 3pi^28 - 1 )

Resposta

Assim, a área da região delimitada pelas curvas é:
A = 3pi^28 - 1

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