Esboce a região delimitada pelas curvas indicadas. Decida quando integrar em relação a ou . Então, calcule a área da região.
b.

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para a gente esboçar a região delimitada pelas curvas dadas e calcular a área dessa região. Estamos lidando com o estudo de áreas entre curvas, que é um conteúdo de cálculo. Para resolver isso, vamos precisar entender as funções que nos foram apresentadas: e , além das linhas verticais que delimitam a região: e .

Passo 2

Primeiro, vamos esboçar as curvas. A função é a famosa função seno, que oscila entre 0 e 1 no intervalo de a . A função é uma reta que cresce linearmente. Os limites dados, e , nos mostram que a área que queremos calcular está entre esses dois valores de .
Para desenhar isso em um gráfico, você teria:
  • A curva do seno, que começa em , chega a e depois volta a descer até .
  • A reta , que passa pelos pontos , e .
Agora, se você comparar os valores de entre essas duas funções no intervalo que estamos analisando, verá que, entre e , a função reta está acima da função . Então a área que queremos achar está entre essas duas curvas.

Passo 3

Agora vamos calcular a área dessa região. Para isso, utilizamos a integral definida. A área entre duas curvas é dada por:
onde é a função que está em cima e é a função que está embaixo.
Aqui, temos:
  • (a reta)
Assim, a integral para a área de até fica:

Passo 4

Agora, vamos calcular essa integral. Precisamos resolver a integral separadamente:
  1. A integral de de a :
  2. Agora, a integral de de a :
Agora, juntamos tudo na fórmula da área:

Resposta

Assim, a área da região delimitada pelas curvas é:

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