Esboce a região delimitada pelas curvas indicadas. Decida quando integrar em relação a
ou
. Então, calcule a área da região.
b.
b.
Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para a gente esboçar a região delimitada pelas curvas dadas e calcular a área dessa região. Estamos lidando com o estudo de áreas entre curvas, que é um conteúdo de cálculo. Para resolver isso, vamos precisar entender as funções que nos foram apresentadas:
e
, além das linhas verticais que delimitam a região:
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos esboçar as curvas. A função
é a famosa função seno, que oscila entre 0 e 1 no intervalo de
a
. A função
é uma reta que cresce linearmente. Os limites dados,
e
, nos mostram que a área que queremos calcular está entre esses dois valores de
.
Para desenhar isso em um gráfico, você teria:
- A curva do seno, que começa em
, chega a e depois volta a descer até . - A reta
, que passa pelos pontos , e .
Agora, se você comparar os valores de
entre essas duas funções no intervalo que estamos analisando, verá que, entre
e
, a função reta
está acima da função
. Então a área que queremos achar está entre essas duas curvas.
Passo 3
Agora vamos calcular a área dessa região. Para isso, utilizamos a integral definida. A área
entre duas curvas é dada por:
onde
é a função que está em cima e
é a função que está embaixo.
Aqui, temos:
-
(a reta) -
Assim, a integral para a área de
até
fica:
Passo 4
Agora, vamos calcular essa integral. Precisamos resolver a integral separadamente:
-
A integral de
de a : -
Agora, a integral de
desin x api2 :pi integral sin x , dx = -cos x |pi2^pi = -cos(pi) - (-cos(pi2)) = -(-1) - (0) = 1
Agora, juntamos tudo na fórmula da área:
Resposta
Assim, a área da região delimitada pelas curvas é: