Esboce a regiâo delimitada pelas curvas indicadas e encontre a sua área.
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem duas curvas:
e
, no intervalo de
a
. Nosso objetivo aqui é esboçar a região que essas curvas delimitam e calcular a área dessa região. Para isso, vamos usar um pouco de cálculo, especificamente integrais, para encontrar essa área.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como são essas curvas. A função
é a conhecida função cosseno, que oscila entre
e
com um período de
. Já a função
é basicamente a função cosseno deslocada 2 unidades para cima. Isso significa que ela oscila entre
e
.
Passo 3
Agora, para esboçar a região delimitada por essas curvas, precisamos saber onde elas se encontram, ou seja, encontrar os pontos de interseção. Igualamos as duas funções:
Resolvendo essa equação:
Sabemos que
quando
e
no intervalo dado. Então, as curvas se encontram nesses dois pontos.
Passo 4
Agora que sabemos onde as curvas se encontram, vamos identificar qual delas está por cima no intervalo de
a
. Observando as funções:
-
varia de a . -
varia de a .
Claramente,
está sempre acima de
nesse intervalo.
Passo 5
Para encontrar a área entre as duas curvas, vamos calcular a integral da diferença das funções de cima para baixo, de
a
. A fórmula para a área
é:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Passo 6
Vamos resolver essa integral passo a passo. Primeiro, separamos a integral em duas partes:
Calculando cada parte:
Então:
Resposta
A área da região delimitada pelas curvas é
unidades de área.
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Usando o Teorema Fundamental do Cálculo e as integrais indefinidas listadas se necessário, calcule:
(d)
(d)
Calcule a integral indefinida
(d)
(d)
Usando o Teorema Fundamental do Cálculo e as integrais indefinidas listadas se necessário, calcule:
(a)
(a)
Complete a tabela e utilize o resultado para estimar o limite. Use uma ferramenta gráfica para traçar o gráfico da função para confirmar o resultado
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1,9 | 1,99 | 1,999 | 2 | 2,001 | 2,01 | 2,1 |
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