Esboce a regiâo delimitada pelas curvas indicadas e encontre a sua área.
(b)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem duas curvas: e , no intervalo de a . Nosso objetivo aqui é esboçar a região que essas curvas delimitam e calcular a área dessa região. Para isso, vamos usar um pouco de cálculo, especificamente integrais, para encontrar essa área.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como são essas curvas. A função é a conhecida função cosseno, que oscila entre e com um período de . Já a função é basicamente a função cosseno deslocada 2 unidades para cima. Isso significa que ela oscila entre e .

Passo 3

Agora, para esboçar a região delimitada por essas curvas, precisamos saber onde elas se encontram, ou seja, encontrar os pontos de interseção. Igualamos as duas funções:
Resolvendo essa equação:
Sabemos que quando e no intervalo dado. Então, as curvas se encontram nesses dois pontos.

Passo 4

Agora que sabemos onde as curvas se encontram, vamos identificar qual delas está por cima no intervalo de a . Observando as funções:
  • varia de a .
  • varia de a .
Claramente, está sempre acima de nesse intervalo.

Passo 5

Para encontrar a área entre as duas curvas, vamos calcular a integral da diferença das funções de cima para baixo, de a . A fórmula para a área é:
Simplificando a expressão dentro da integral:

Passo 6

Vamos resolver essa integral passo a passo. Primeiro, separamos a integral em duas partes:
Calculando cada parte:
Então:

Resposta

A área da região delimitada pelas curvas é unidades de área.

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Usando o Teorema Fundamental do Cálculo e as integrais indefinidas listadas se necessário, calcule:
(d)
Calcule a integral indefinida
(d)
Usando o Teorema Fundamental do Cálculo e as integrais indefinidas listadas se necessário, calcule:
(a)
Complete a tabela e utilize o resultado para estimar o limite. Use uma ferramenta gráfica para traçar o gráfico da função para confirmar o resultado
1,9 1,99 1,999 2 2,001 2,01 2,1