Usando o Teorema Fundamental do Cálculo e as integrais indefinidas listadas se necessário, calcule:
(a) integral1^9 2 t^2+t^2 raizt-1t^2 d t

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral definida de uma função que envolve polinômios e raízes. Estamos lidando com o Teorema Fundamental do Cálculo, que conecta integrais indefinidas com derivadas. Para resolver isso, vamos simplificar a função dentro da integral e depois integrar termo por termo usando as regras básicas de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral:
2 t^2 + t^2 raizt - 1t^2
Podemos dividir cada termo do numerador por 2 t^2t^2 + t^2 raiztt^2 - 1t^2 = 2 + raizt - 1t^2 :

Passo 3

Agora que simplificamos a função, nossa integral fica:
integral1^9 (2 + raizt - 1t^2) dt
Vamos separar essa integral em três partes para facilitar o cálculo:
integral1^9 2 , dt + integral1^9 raizt , dt - integral1^9 1t^2 , dt

Passo 4

Vamos integrar cada parte:
  1. Integral de 2 em relação a integral 2 , dt = 2t + C :
integral t^1/2 , dt = 23 t^3/2 + C
  1. Integral de integral t^-2 , dt = -1t + C em relação a :
  1. Integral de em relação a :

Passo 5

Agora, aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo, que nos diz para avaliar a antiderivada nos limites de integração e subtrair:
[2t]1^9 + [23 t^3/2]1^9 - [-1t]1^9

Passo 6

Vamos calcular cada parte:
  1. Para 2(9) - 2(1) = 18 - 2 = 16 :
23 (9)^3/2 - 23 (1)^3/2 = 23 times 27 - 23 times 1 = 18 - 23 = 523
  1. Para -19 - (-11) = -19 + 1 = 89 :
  1. Para :

Passo 7

Agora, somamos todos os resultados:
16 + 523 + 89 = 43227 + 46827 + 2427 = 92427 = 3089

Resposta

A integral é igual a .

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