Usando o Teorema Fundamental do Cálculo e as integrais indefinidas listadas se necessário, calcule:
(d)
(d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral definida de
de 0 a
. Isso está relacionado ao Teorema Fundamental do Cálculo, que conecta integrais definidas com derivadas. Para resolver isso, precisamos encontrar a antiderivada (ou integral indefinida) da função e depois avaliar nos limites dados.
Passo 2
Primeiro, vamos separar a integral em duas partes para facilitar:
Isso funciona porque a integral de uma soma é a soma das integrais.
Passo 3
Agora, vamos calcular cada uma dessas integrais separadamente.
Para a primeira integral
:
A gente pode tirar o 1/2 da integral:
A gente pode tirar o 1/2 da integral:
A integral de
em relação a
é
, então:
Passo 4
Para a segunda integral
:
Aqui, a gente pode tirar o 2 da integral:
Aqui, a gente pode tirar o 2 da integral:
A integral de
é
, então:
Passo 5
Agora, juntando as duas partes, temos a antiderivada completa:
Segundo o Teorema Fundamental do Cálculo, vamos avaliar essa expressão nos limites de 0 a
.
Passo 6
Vamos substituir os limites na antiderivada:
Para
:
Para
:
Aqui temos um problema, porque não está definido (tende ao negativo infinito). Mas na prática, nesse contexto, como
se aproxima de infinito quando
se aproxima de 0, a integral pode divergir. Porém, se considerarmos uma integral imprópria, podemos analisar o limite.
Aqui temos um problema, porque
Passo 7
Calculando o limite:
À medida que
se aproxima de 0,
tende a 0 e
tende a menos infinito. Então, a expressão
tende a mais infinito, o que nos indica que a integral diverge para mais infinito.
Resposta
A integral
diverge para mais infinito.
Exercícios relacionados
Calcule a integral indefinida
(d)
(d)
Esboce a regiâo delimitada pelas curvas indicadas e encontre a sua área.
(b)
(b)
Usando o Teorema Fundamental do Cálculo e as integrais indefinidas listadas se necessário, calcule:
(a)
(a)