Usando o Teorema Fundamental do Cálculo e as integrais indefinidas listadas se necessário, calcule:
(d)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral definida de de 0 a . Isso está relacionado ao Teorema Fundamental do Cálculo, que conecta integrais definidas com derivadas. Para resolver isso, precisamos encontrar a antiderivada (ou integral indefinida) da função e depois avaliar nos limites dados.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a integral em duas partes para facilitar:
Isso funciona porque a integral de uma soma é a soma das integrais.

Passo 3

Agora, vamos calcular cada uma dessas integrais separadamente.
Para a primeira integral :
A gente pode tirar o 1/2 da integral:
A integral de em relação a é , então:

Passo 4

Para a segunda integral :
Aqui, a gente pode tirar o 2 da integral:
A integral de é , então:

Passo 5

Agora, juntando as duas partes, temos a antiderivada completa:
Segundo o Teorema Fundamental do Cálculo, vamos avaliar essa expressão nos limites de 0 a .

Passo 6

Vamos substituir os limites na antiderivada:
Para :
Para :
Aqui temos um problema, porque não está definido (tende ao negativo infinito). Mas na prática, nesse contexto, como se aproxima de infinito quando se aproxima de 0, a integral pode divergir. Porém, se considerarmos uma integral imprópria, podemos analisar o limite.

Passo 7

Calculando o limite:
À medida que se aproxima de 0, tende a 0 e tende a menos infinito. Então, a expressão tende a mais infinito, o que nos indica que a integral diverge para mais infinito.

Resposta

A integral diverge para mais infinito.

Exercícios relacionados

Calcule a integral indefinida
(d)
Esboce a regiâo delimitada pelas curvas indicadas e encontre a sua área.
(b)
Usando o Teorema Fundamental do Cálculo e as integrais indefinidas listadas se necessário, calcule:
(a)