Resolva as integrais usando a substituição de variável: integral arcsin (x) d xraiz1-x^2

Passo 1

Vamos resolver a integral integral arcsin (x) , dxraiz1-x^2. Esse exercício pertence à matéria de Cálculo Integral, mais especificamente ao método de substituição de variável. Para resolver, vamos precisar entender como escolher uma substituição que simplifique a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão. Vamos definir:
t = arcsin(x)

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de t em relação a x para substituir dx na integral. Derivando ambos os lados em relação a x, temos:
dtdx = 1raiz1 - x^2
Então, rearranjando para encontrar dx:
dx = raiz1 - x^2 , dt

Passo 4

Substituímos t e dx na integral original:
integral arcsin (x) , dxraiz1-x^2 = integral t cdot raiz1 - x^2 , dtraiz1 - x^2
Perceba que raiz1 - x^2 no numerador e denominador se cancelam, simplificando a integral para:
integral t , dt

Passo 5

Agora, a integral ficou bem mais simples:
integral t , dt = t^22 + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 6

Por fim, substituímos t de volta para expressar a resposta em termos de x:
t^22 + C = (arcsin(x))^22 + C

Resposta

A integral é igual a 12 ( arcsin(x) )^2 + C.

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