Use o método das cascas cilíndricas para achar o volume gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo especificado.
; em torno do eixo .

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cálculo de volumes usando o método das cascas cilíndricas. A questão pede para encontrar o volume da região delimitada pelas curvas , , e , ao ser girada em torno do eixo . Para isso, vamos precisar entender como aplicar o método das cascas cilíndricas, que é uma técnica útil para calcular volumes de rotação em torno de um eixo.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região que está sendo girada. As curvas dadas são:
  • : uma hipérbole.
  • : o eixo .
  • e : linhas horizontais.
Essas curvas delimitam uma região entre e e entre e (resolvendo para ).

Passo 3

No método das cascas cilíndricas, o volume é calculado integrando as cascas cilíndricas infinitesimais. A fórmula geral é:
Aqui:
  • é a distância do elemento à linha de rotação (eixo ).
  • é a altura da casca cilíndrica.

Passo 4

Vamos identificar e para nosso problema:
  • Distância ao eixo : Como estamos girando em torno do eixo , a distância de um ponto a essa linha é simplesmente .
  • Altura da casca: É a diferença entre a coordenada à direita e à esquerda da região. Aqui, à esquerda temos e à direita temos .

Passo 5

Agora, substituímos e na fórmula do volume:
Simplificando a expressão dentro da integral:

Passo 6

Calculamos a integral:

Resposta

O volume gerado pela rotação da região em torno do eixo é unidades cúbicas.

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