Use o método das cascas cilíndricas para achar o volume gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo especificado.
; em torno do eixo
.
Passo 1
Vamos resolver um exercício de cálculo de volumes usando o método das cascas cilíndricas. A questão pede para encontrar o volume da região delimitada pelas curvas
,
,
e
, ao ser girada em torno do eixo
. Para isso, vamos precisar entender como aplicar o método das cascas cilíndricas, que é uma técnica útil para calcular volumes de rotação em torno de um eixo.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região que está sendo girada. As curvas dadas são:
-
: uma hipérbole. -
: o eixo . -
e : linhas horizontais.
Essas curvas delimitam uma região entre
e
e entre
e
(resolvendo
para
).
Passo 3
No método das cascas cilíndricas, o volume é calculado integrando as cascas cilíndricas infinitesimais. A fórmula geral é:
Aqui:
-
é a distância do elemento à linha de rotação (eixo ). -
é a altura da casca cilíndrica.
Passo 4
Vamos identificar
e
para nosso problema:
-
Distância ao eixo
: Como estamos girando em torno do eixo , a distância de um ponto a essa linha é simplesmente . -
Altura da casca: É a diferença entre a coordenada
à direita e à esquerda da região. Aqui, à esquerda temos e à direita temos .
Passo 5
Agora, substituímos
e
na fórmula do volume:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Passo 6
Calculamos a integral:
Resposta
O volume gerado pela rotação da região em torno do eixo
é
unidades cúbicas.
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