Esboce a região delimitada pelos gráficos das equações e calcule sua área.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício pede. Temos duas equações:
O objetivo é desenhar o gráfico dessas duas equações, identificar a região que elas delimitam e calcular a área dessa região. Para isso, vamos precisar de conhecimentos sobre gráficos de parábolas e cálculo de áreas usando integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever as equações para facilitar a visualização dos gráficos. A primeira equação é:
Essa é uma parábola que abre para a direita, deslocada 4 unidades para a esquerda no eixo x.
A segunda equação é:
Essa é uma parábola que abre para a esquerda, deslocada 2 unidades para a direita no eixo x.
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos de interseção dessas duas parábolas. Para isso, igualamos as duas expressões de x:
Resolvendo para
:
Portanto, as parábolas se intersectam nos pontos onde
e
.
Passo 4
Com os pontos de interseção determinados, vamos esboçar os gráficos para visualizar a região delimitada. A parábola
abre para a direita e a
abre para a esquerda. A região compartilhada entre elas está entre
e
.
Passo 5
Para calcular a área dessa região, vamos integrar a diferença entre as duas funções de x em relação a y, dentro dos limites de
e
:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 6
Como a função
é par (simétrica em relação ao eixo y), podemos simplificar a integral de
a
para o dobro da integral de 0 a
:
Passo 7
Vamos calcular a integral:
Aplicando os limites de integração:
Resposta
A área da região delimitada pelos gráficos das equações é
unidades de área.
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