Esboce a região delimitada pelos gráficos das equações e calcule sua área.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta pede para a gente desenhar a região que fica entre os gráficos das equações e e, depois, calcular a área dessa região. Vamos usar conhecimentos de álgebra e cálculo para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que cada equação representa:
é uma parábola que abre para cima, deslocada 1 unidade para cima.
é uma linha horizontal passando pelo ponto .
Nosso objetivo é encontrar onde esses dois gráficos se interceptam para saber quais são os limites da região que vamos calcular.
Passo 3
Para encontrar os pontos de interseção, igualamos as duas equações:
Vamos resolver para :
Então, os pontos de interseção são e .
Passo 4
Agora que sabemos que as interseções acontecem em e , podemos visualizar a região delimitada entre esses pontos. A parábola está abaixo da linha horizontal nesse intervalo.
Passo 5
Para calcular a área dessa regi��o, vamos usar a integração. A área entre duas curvas entre e é dada por:
No nosso caso, a linha é a curva superior e a parábola é a inferior. Os limites de integração são e .
Passo 6
Vamos montar a integral:
Passo 7
Agora, vamos calcular a integral:
Calculando cada parte separadamente:
Passo 8
Subtraindo as duas partes:
Resposta
A área da região delimitada pelos gráficos das equações e é unidades de área.