Esboce a região delimitada pelos gráficos das equações e calcule sua área.
y = x^2 + 1 ; y = 5

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta pede para a gente desenhar a região que fica entre os gráficos das equações e e, depois, calcular a área dessa região. Vamos usar conhecimentos de álgebra e cálculo para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que cada equação representa:
  • é uma parábola que abre para cima, deslocada 1 unidade para cima.
  • é uma linha horizontal passando pelo ponto .
Nosso objetivo é encontrar onde esses dois gráficos se interceptam para saber quais são os limites da região que vamos calcular.

Passo 3

Para encontrar os pontos de interseção, igualamos as duas equações:
Vamos resolver para :
Então, os pontos de interseção são e .

Passo 4

Agora que sabemos que as interseções acontecem em e , podemos visualizar a região delimitada entre esses pontos. A parábola está abaixo da linha horizontal nesse intervalo.

Passo 5

Para calcular a área dessa regi��o, vamos usar a integração. A área entre duas curvas entre e é dada por:
No nosso caso, a linha é a curva superior e a parábola é a inferior. Os limites de integração são e .

Passo 6

Vamos montar a integral:

Passo 7

Agora, vamos calcular a integral:
Calculando cada parte separadamente:

Passo 8

Subtraindo as duas partes:

Resposta

A área da região delimitada pelos gráficos das equações e é unidades de área.

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