Esboce a região delimitada pelos gráficos das equações e calcule sua área.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar a região formada pelos gráficos das equações dadas e calcular a área dessa região. As equações que temos são:
  • (que é uma parábola)
  • (que é uma reta)
  • e (são retas horizontais)
Para resolver isso, vamos precisar entender como essas curvas se comportam no gráfico e encontrar os pontos de interseção entre elas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender cada equação:
  1. Parábola : Essa é uma parábola que abre para a esquerda porque o coeficiente de é negativo. O vértice está na origem (0,0).
  2. Reta : Podemos reescrever isso como , que é uma reta com inclinação 1 e intercepta o eixo em -4.
  3. Retas e : São linhas horizontais que cortam o eixo nos pontos -1 e 2, respectivamente.

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos onde essas curvas se intersectam, pois esses pontos vão delimitar a região que queremos calcular.
Interseção da parábola com as retas horizontais:
Para :

Então, o ponto é (-1, -1).
Para :

Então, o ponto é (-4, 2).
Interseção da reta com as retas horizontais:
Para :

Então, o ponto é (3, -1).
Para :

Então, o ponto é (6, 2).

Passo 4

Agora que temos os pontos de interseção, podemos esboçar o gráfico:
  • A parábola passa pelos pontos (-1, -1) e (-4, 2).
  • A reta passa pelos pontos (3, -1) e (6, 2).
  • As retas horizontais e delimitam a parte inferior e superior da região.
A região delimitada será uma espécie de trapézio com curvatura, entre os pontos de interseção que encontramos.

Passo 5

Para calcular a área dessa região, vamos precisar integrar as diferenças das funções nos limites apropriados. Mas antes, vamos identificar os limites de integração.
Observando os pontos de interseção:
  • A parte inferior da região vai de a .
Vamos expressar em função de para as duas curvas principais:
  • Da parábola:
  • Da reta:
A área pode ser calculada pela integral:
á

Passo 6

Agora, vamos resolver a integral:
Vamos integrar termo a termo:
Então,

Passo 7

Vamos substituir os limites de integração:
Para :
Para :

Passo 8

Subtraímos o valor em do valor em :

Resposta

A área da região delimitada pelas equações dadas é unidades de área.

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