Esboce a região delimitada pelos gráficos das equações e calcule sua área.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar a região formada pelos gráficos das equações dadas e calcular a área dessa região. As equações que temos são:
-
(que é uma parábola) -
(que é uma reta) -
e (são retas horizontais)
Para resolver isso, vamos precisar entender como essas curvas se comportam no gráfico e encontrar os pontos de interseção entre elas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender cada equação:
-
Parábola
: Essa é uma parábola que abre para a esquerda porque o coeficiente de é negativo. O vértice está na origem (0,0). -
Reta
: Podemos reescrever isso como , que é uma reta com inclinação 1 e intercepta o eixo em -4. -
Retas
e : São linhas horizontais que cortam o eixo nos pontos -1 e 2, respectivamente.
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos onde essas curvas se intersectam, pois esses pontos vão delimitar a região que queremos calcular.
Interseção da parábola
com as retas horizontais:
Para
:
→
→
Então, o ponto é (-1, -1).
Então, o ponto é (-1, -1).
Para
:
→
→
Então, o ponto é (-4, 2).
Então, o ponto é (-4, 2).
Interseção da reta
com as retas horizontais:
Para
:
→
Então, o ponto é (3, -1).
Então, o ponto é (3, -1).
Para
:
→
Então, o ponto é (6, 2).
Então, o ponto é (6, 2).
Passo 4
Agora que temos os pontos de interseção, podemos esboçar o gráfico:
- A parábola
passa pelos pontos (-1, -1) e (-4, 2). - A reta
passa pelos pontos (3, -1) e (6, 2). - As retas horizontais
e delimitam a parte inferior e superior da região.
A região delimitada será uma espécie de trapézio com curvatura, entre os pontos de interseção que encontramos.
Passo 5
Para calcular a área dessa região, vamos precisar integrar as diferenças das funções nos limites apropriados. Mas antes, vamos identificar os limites de integração.
Observando os pontos de interseção:
- A parte inferior da região vai de
a .
Vamos expressar
em função de
para as duas curvas principais:
- Da parábola:
- Da reta:
A área
pode ser calculada pela integral:
Passo 6
Agora, vamos resolver a integral:
Vamos integrar termo a termo:
Então,
Passo 7
Vamos substituir os limites de integração:
Para
:
Para
:
Passo 8
Subtraímos o valor em
do valor em
:
Resposta
A área da região delimitada pelas equações dadas é
unidades de área.
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