Esboce a região delimitada pelos gráficos das equações e calcule sua área.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente desenhar (ou esboçar) a região que é limitada pelos gráficos das equações
e
. Além disso, temos que calcular a área dessa região. Para resolver isso, vamos precisar saber como encontrar os pontos onde as curvas se interceptam e depois usar integração para achar a área.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar onde as duas equações se encontram. Para isso, igualamos
a
:
Isso dá:
Então, as soluções são
e
. Portanto, os pontos de interseção são
,
e
.
Passo 3
Agora, vamos ver como as curvas se comportam entre esses pontos. Quando
está entre -1 e 0 e entre 0 e 1, a curva
está abaixo do eixo
. Isso significa que a área que queremos calcular está entre essas curvas nesses intervalos.
Passo 4
Para calcular a área, usamos a integração. A fórmula para a área entre duas curvas é:
No nosso caso,
e
. Como
está abaixo de
entre -1 e 1, a fórmula fica:
Passo 5
Vamos resolver a integral:
Agora, avaliamos de -1 a 1:
Ops! Isso significa que a área total de -1 a 1 está se cancelando porque a função é ímpar. Então, vamos calcular a área de 0 a 1 e duplicar:
Resposta
A área da região delimitada pelas curvas
e
é
unidades quadradas.
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