Esboce a região delimitada pelos gráficos das equações e calcule sua área.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa desenhar a região que é limitada pelos gráficos das equações e , e depois calcular a área dessa região. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre gráficos de funções e como calcular áreas entre curvas usando integração.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as duas equações se encontram. Isso significa resolver a equação , já que .

Passo 3

Vamos resolver :
Isso nos dá três soluções:
Então, os pontos de interseção são , e .

Passo 4

Sabendo que os pontos de interseção são , e , vamos determinar os limites de integração para calcular a área. Como a função é simétrica em relação ao eixo , podemos calcular a área de uma metade e depois multiplicar por 2, se preferir.

Passo 5

A área entre as curvas pode ser calculada usando a integral definida:
Aqui, e . Então:
Vamos calcular essa integral:
Hmm, parece que houve um erro aqui. Isso ocorre porque a função é ímpar em relação a , e a integral de uma função ímpar de a é zero. Então, para encontrar a área, precisamos considerar o valor absoluto da função ou calcular de a e multiplicar por 2:

Resposta

A área da região delimitada pelos gráficos das equações e é igual a 8 unidades de área.

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