Esboce a região delimitada pelos gráficos das equações e calcule sua área.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa desenhar a região que é limitada pelos gráficos das equações
e
, e depois calcular a área dessa região. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre gráficos de funções e como calcular áreas entre curvas usando integração.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as duas equações se encontram. Isso significa resolver a equação
, já que
.
Passo 3
Vamos resolver
:
Isso nos dá três soluções:
Então, os pontos de interseção são
,
e
.
Passo 4
Sabendo que os pontos de interseção são
,
e
, vamos determinar os limites de integração para calcular a área. Como a função
é simétrica em relação ao eixo
, podemos calcular a área de uma metade e depois multiplicar por 2, se preferir.
Passo 5
A área
entre as curvas pode ser calculada usando a integral definida:
Aqui,
e
. Então:
Vamos calcular essa integral:
Hmm, parece que houve um erro aqui. Isso ocorre porque a função é ímpar em relação a
, e a integral de uma função ímpar de
a
é zero. Então, para encontrar a área, precisamos considerar o valor absoluto da função ou calcular de
a
e multiplicar por 2:
Resposta
A área da região delimitada pelos gráficos das equações
e
é igual a 8 unidades de área.
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