Esboce a região delimitada pelos gráficos das equações e calcule sua área.
h) ;

Passo 1

Opa! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente precisa desenhar a região que fica entre os gráficos das funções e e, depois, calcular a área dessa região. Para isso, vamos precisar entender como essas curvas se comportam e encontrar onde elas se cruzam.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as funções que temos:
  • é uma parábola que abre para baixo, já que o coeficiente de é negativo. O vértice dessa parábola está no ponto (0,3).
  • é uma reta horizontal que corta o eixo y no ponto (0,-1).

Passo 3

Vamos encontrar os pontos onde essas duas curvas se cruzam. Para isso, igualamos as duas equações:
Resolvendo essa equação:
Portanto, os pontos de interseção são (2, -1) e (-2, -1).

Passo 4

Agora que sabemos onde as curvas se encontram, podemos esboçar o gráfico. A parábola passa pelo ponto (0,3) e desce até cruzar a reta nos pontos (2,-1) e (-2,-1). A região delimitada por elas está entre e .

Passo 5

Para encontrar a área dessa região, vamos calcular a integral da diferença entre as duas funções, de a :
Á

Passo 6

Vamos calcular a integral:
Agora, avaliamos de -2 a 2:
Á
Calculando para :
Calculando para :
Subtraindo:

Resposta

A área da região delimitada pelas curvas e é unidades de área.

Exercícios relacionados

Esboce a região delimitada pelos gráficos das equações e calcule sua área.
f) ;
Escolha duas séries abaixo. Determine se a série é convergente ou divergente. Justifique sua resposta.
Esboce a região delimitada pelos gráficos das equações e calcule sua área.
i) ;
Ache a área da região entre os gráficos de e g para restrito ao intervalo dado.
c)