Esboce a região delimitada pelos gráficos das equações e calcule sua área.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa desenhar a região que é limitada pelos gráficos das equações
e
, e depois calcular a área dessa região. Para isso, vamos usar conceitos de gráficos de funções e cálculo de integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar onde essas duas curvas se encontram, ou seja, onde
é igual a
. Isso significa resolver a equação:
Vamos fatorar essa expressão para encontrar os valores de
:
Agora, resolvemos
e a equação quadrática
. Usando a fórmula de Bhaskara para a quadrática:
Então, temos:
Portanto, os pontos de interseção são
,
e
.
Passo 3
Agora que temos os valores de
onde as curvas se encontram, podemos determinar os limites de integração para calcular a área. Vamos integrar de
a
.
Passo 4
Para calcular a área entre as duas curvas, usamos a integral da diferença das funções no intervalo determinado. Como
é o nosso limite esquerdo e
é a função à direita, a área
é dada por:
Vamos calcular essa integral:
Avaliada de
a
:
Calculando cada parte:
Para :
Para
Para
:
Então:
Resposta
A área da região delimitada pelos gráficos das equações é
unidades de área.
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Estabeleça somas de integrais para achar a área da região delimitada pelos gráficos das equações, integrando em relação a: (a)
e (b)
.