Esboce a região delimitada pelos gráficos das equações e calcule sua área.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa desenhar a região que é limitada pelos gráficos das equações e , e depois calcular a área dessa região. Para isso, vamos usar conceitos de gráficos de funções e cálculo de integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar onde essas duas curvas se encontram, ou seja, onde é igual a . Isso significa resolver a equação:
Vamos fatorar essa expressão para encontrar os valores de :
Agora, resolvemos e a equação quadrática . Usando a fórmula de Bhaskara para a quadrática:
Então, temos:
Portanto, os pontos de interseção são , e .

Passo 3

Agora que temos os valores de onde as curvas se encontram, podemos determinar os limites de integração para calcular a área. Vamos integrar de a .

Passo 4

Para calcular a área entre as duas curvas, usamos a integral da diferença das funções no intervalo determinado. Como é o nosso limite esquerdo e é a função à direita, a área é dada por:
Vamos calcular essa integral:
Avaliada de a :
Calculando cada parte:
Para :
Para :
Então:

Resposta

A área da região delimitada pelos gráficos das equações é unidades de área.

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Estabeleça somas de integrais para achar a área da região delimitada pelos gráficos das equações, integrando em relação a: (a) e (b) .