Esboce a região delimitada pelos gráficos das equações e calcule sua área.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa esboçar a região delimitada pelas curvas das equações e . Depois, vamos calcular a área dessa região. Isso envolve conceitos de Cálculo, especificamente de integração para encontrar áreas sob curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as equações que temos. A segunda equação, , é simplesmente o eixo . Já a primeira, , é uma função que envolve uma raiz quadrada, o que indica que há restrições nos valores de para que a expressão dentro da raiz seja não negativa.

Passo 3

Vamos determinar o domínio da função . Para que a raiz quadrada seja real, precisamos que:
Resolvendo essa inequação:
Então, varia de -2 a 2.

Passo 4

Agora, vamos encontrar os pontos onde as duas curvas se interceptam. Isso acontece quando:
A equação é igual a zero se ou se . Resolvendo :
Portanto, os pontos de interseção são .

Passo 5

Vamos esboçar o gráfico de . Para facilitar, podemos reescrever a função:
Isso nos mostra que a função é simétrica em relação ao eixo e tem raízes em . O gráfico terá uma forma semelhante a uma parábola entre -2 e 2.

Passo 6

Agora que entendemos o gráfico, vamos calcular a área delimitada pelas curvas. Como a região está entre e e acima de , podemos integrar a função nesse intervalo.

Passo 7

A área pode ser calculada pela integral definida:
Mas, percebendo que a função é ímpar (pois ), a área entre -2 e 2 cancela, o que não faz sentido aqui. Isso indica que precisamos considerar os valores positivos da função.

Passo 8

Como a função é simétrica, podemos calcular a área de um lado e dobrar o resultado. Vamos integrar de 0 a 2 e multiplicar por 2:

Passo 9

Para resolver essa integral, fazemos uma substituição. Vamos deixar . Então:
Substituindo na integral:
Invertendo os limites conforme a substituição (quando , ; e quando , ):

Passo 10

Agora, integramos :
Aplicando os limites de 0 a 4:
Calculando :
Então:

Resposta

A área da região delimitada pelas curvas e é unidades de área.

Exercícios relacionados

Esboce a região delimitada pelos gráficos das equações e calcule sua área.
Esboce a região delimitada pelos gráficos das equações e calcule sua área.
Estabeleça somas de integrais para achar a área da região delimitada pelos gráficos das equações, integrando em relação a: (a) e (b) .
Estabeleça somas de integrais para achar a área da região delimitada pelos gráficos das equações, integrando em relação a: (a) e (b) .