Esboce a região delimitada pelos gráficos das equações e calcule sua área.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa esboçar a região delimitada pelas curvas das equações
e
. Depois, vamos calcular a área dessa região. Isso envolve conceitos de Cálculo, especificamente de integração para encontrar áreas sob curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as equações que temos. A segunda equação,
, é simplesmente o eixo
. Já a primeira,
, é uma função que envolve uma raiz quadrada, o que indica que há restrições nos valores de
para que a expressão dentro da raiz seja não negativa.
Passo 3
Vamos determinar o domínio da função
. Para que a raiz quadrada seja real, precisamos que:
Resolvendo essa inequação:
Então,
varia de -2 a 2.
Passo 4
Agora, vamos encontrar os pontos onde as duas curvas se interceptam. Isso acontece quando:
A equação é igual a zero se
ou se
. Resolvendo
:
Portanto, os pontos de interseção são
.
Passo 5
Vamos esboçar o gráfico de
. Para facilitar, podemos reescrever a função:
Isso nos mostra que a função é simétrica em relação ao eixo
e tem raízes em
. O gráfico terá uma forma semelhante a uma parábola entre -2 e 2.
Passo 6
Agora que entendemos o gráfico, vamos calcular a área delimitada pelas curvas. Como a região está entre
e
e acima de
, podemos integrar a função
nesse intervalo.
Passo 7
A área
pode ser calculada pela integral definida:
Mas, percebendo que a função é ímpar (pois
), a área entre -2 e 2 cancela, o que não faz sentido aqui. Isso indica que precisamos considerar os valores positivos da função.
Passo 8
Como a função é simétrica, podemos calcular a área de um lado e dobrar o resultado. Vamos integrar de 0 a 2 e multiplicar por 2:
Passo 9
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição. Vamos deixar
. Então:
Substituindo na integral:
Invertendo os limites conforme a substituição (quando
,
; e quando
,
):
Passo 10
Agora, integramos
:
Aplicando os limites de 0 a 4:
Calculando
:
Então:
Resposta
A área da região delimitada pelas curvas
e
é
unidades de área.
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Estabeleça somas de integrais para achar a área da região delimitada pelos gráficos das equações, integrando em relação a: (a)
e (b)
.
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