Esboce a região delimitada pelos gráficos das equações e calcule sua área.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente desenhar a região que é limitada pelos gráficos das equações
e
, e depois calcular a área dessa região. Para resolver isso, vamos precisar entender como essas duas curvas se comportam e encontrar onde elas se intersectam. Depois, usaremos um pouco de cálculo para achar a área entre elas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção das duas curvas. Para isso, igualamos as duas equações:
Passo 3
Resolvendo a equação
, primeiro trazemos todos os termos para um lado:
Agora, fatoramos:
Passo 4
Isso nos dá duas soluções para
:
Agora, vamos encontrar os valores correspondentes de
substituindo esses
nas equações originais.
Passo 5
Para
:
Então, um ponto de interseção é
.
Para
:
Portanto, o outro ponto de interseção é
.
Passo 6
Agora que sabemos onde as duas curvas se encontram, podemos visualizar a região limitada por elas entre
e
. A parábola
fica abaixo da reta
nesse intervalo.
Passo 7
Para calcular a área entre as duas curvas, usamos a fórmula da integral definida:
Aqui,
e
, e os limites de integração são de
a
.
Passo 8
Vamos substituir na fórmula:
Agora, precisamos resolver essa integral.
Passo 9
Integrando termo a termo:
Como estamos calculando uma integral definida, não precisamos da constante
.
Passo 10
Calculamos os valores nos limites de 0 a 4:
Simplificando:
Resposta
A área da região delimitada pelas curvas
e
é
unidades quadradas.
Exercícios relacionados
Usando a notação de intervalos, expresse os conjuntos:
Usando a notação de intervalos, expresse os conjuntos:
Esboce a região delimitada pelos gráficos das equações e calcule sua área.
Esboce a região delimitada pelos gráficos das equações e calcule sua área.