Esboce a região delimitada pelos gráficos das equações e calcule sua área.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente desenhar a região que é limitada pelos gráficos das equações e , e depois calcular a área dessa região. Para resolver isso, vamos precisar entender como essas duas curvas se comportam e encontrar onde elas se intersectam. Depois, usaremos um pouco de cálculo para achar a área entre elas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção das duas curvas. Para isso, igualamos as duas equações:

Passo 3

Resolvendo a equação , primeiro trazemos todos os termos para um lado:
Agora, fatoramos:

Passo 4

Isso nos dá duas soluções para :
Agora, vamos encontrar os valores correspondentes de substituindo esses nas equações originais.

Passo 5

Para :
Então, um ponto de interseção é .
Para :
Portanto, o outro ponto de interseção é .

Passo 6

Agora que sabemos onde as duas curvas se encontram, podemos visualizar a região limitada por elas entre e . A parábola fica abaixo da reta nesse intervalo.

Passo 7

Para calcular a área entre as duas curvas, usamos a fórmula da integral definida:
Á
Aqui, e , e os limites de integração são de a .

Passo 8

Vamos substituir na fórmula:
Á
Agora, precisamos resolver essa integral.

Passo 9

Integrando termo a termo:
Como estamos calculando uma integral definida, não precisamos da constante .

Passo 10

Calculamos os valores nos limites de 0 a 4:
Á
Simplificando:

Resposta

A área da região delimitada pelas curvas e é unidades quadradas.

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Esboce a região delimitada pelos gráficos das equações e calcule sua área.
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