Esboce a região delimitada pelos gráficos das equações e calcule sua área.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente desenhar a região formada pelos gráficos das equações , , e e calcular a área dessa região. Para isso, vamos precisar usar um pouco de cálculo integral e entender como traçar esses gráficos no plano cartesiano.

Passo 2

Primeiro, vamos entender cada uma das equações:
  • : Essa é uma função racional que gera uma curva conhecida como hipérbole. Ela está definida para todos os diferentes de zero e sempre dá valores positivos.
  • : Essa é uma parábola invertida, já que o coeficiente de é negativo. Ela abre para baixo e passa pela origem.
  • e : Essas são retas verticais que cruzam o eixo em 1 e 2, respectivamente.

Passo 3

Agora, vamos desenhar esses gráficos para visualizar a região que queremos encontrar a área.
  1. Grafico de : Para , essa curva fica no primeiro quadrante, decrescendo conforme aumenta.
  2. Gráfico de : Também para , essa parábola está no quarto quadrante e fica mais baixa conforme aumenta.
  3. Linhas e : Essas retas vão delimitar os limites laterais da região.
Assim, a região delimitada está entre e , entre as duas curvas (acima) e (abaixo).

Passo 4

Para calcular a área dessa região, vamos usar a integral definida. A fórmula geral para a área entre duas curvas e , entre e , é:
Á
Aqui, e , e os limites são e .

Passo 5

Vamos substituir na fórmula:
Á
Agora, vamos resolver essa integral passo a passo.

Passo 6

Primeiro, integramos cada termo separadamente:
Então, a integral completa fica:

Passo 7

Agora, aplicamos os limites de integração de 1 a 2:
Á
Vamos calcular cada parte:
Para :
Para :

Passo 8

Subtraindo os valores:

Resposta

A área da região delimitada pelos gráficos das equações dadas é unidades quadradas.

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Esboce a região delimitada pelos gráficos das equações e calcule sua área.
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