Esboce a região delimitada pelos gráficos das equações e calcule sua área.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente desenhar a região formada pelos gráficos das equações
,
,
e
e calcular a área dessa região. Para isso, vamos precisar usar um pouco de cálculo integral e entender como traçar esses gráficos no plano cartesiano.
Passo 2
Primeiro, vamos entender cada uma das equações:
-
: Essa é uma função racional que gera uma curva conhecida como hipérbole. Ela está definida para todos os diferentes de zero e sempre dá valores positivos. -
: Essa é uma parábola invertida, já que o coeficiente de é negativo. Ela abre para baixo e passa pela origem. -
e : Essas são retas verticais que cruzam o eixo em 1 e 2, respectivamente.
Passo 3
Agora, vamos desenhar esses gráficos para visualizar a região que queremos encontrar a área.
- Grafico de
: Para , essa curva fica no primeiro quadrante, decrescendo conforme aumenta. - Gráfico de
: Também para , essa parábola está no quarto quadrante e fica mais baixa conforme aumenta. - Linhas
e : Essas retas vão delimitar os limites laterais da região.
Assim, a região delimitada está entre
e
, entre as duas curvas
(acima) e
(abaixo).
Passo 4
Para calcular a área dessa região, vamos usar a integral definida. A fórmula geral para a área entre duas curvas
e
, entre
e
, é:
Aqui,
e
, e os limites são
e
.
Passo 5
Vamos substituir na fórmula:
Agora, vamos resolver essa integral passo a passo.
Passo 6
Primeiro, integramos cada termo separadamente:
Então, a integral completa fica:
Passo 7
Agora, aplicamos os limites de integração de 1 a 2:
Vamos calcular cada parte:
Para
:
Para
:
Passo 8
Subtraindo os valores:
Resposta
A área da região delimitada pelos gráficos das equações dadas é
unidades quadradas.
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