Esboce a região delimitada pelos gráficos das equações e calcule o volume do sólido gerado pela revolução de em torno do eixo indicado.
b) ; eixo ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar a região delimitada pelas curvas das equações e , e depois calcular o volume do sólido formado quando essa região é girada em torno do eixo . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente o método dos discos ou das cascas, que ajudam a encontrar volumes de sólidos de revolução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender onde as duas curvas se encontram. Isso significa encontrar os valores de que satisfazem ambas as equações e .

Passo 3

Igualando as duas equações:
Podemos fatorar:
Então, as soluções são e . Isso nos dá os pontos de interseção: e .

Passo 4

Agora, vamos identificar qual método vamos usar para calcular o volume. Como estamos girando em torno do eixo (que é simétrico ao eixo ), o método dos discos é apropriado aqui.
Lembrando que a fórmula para o volume usando o método dos discos é:
onde é a distância da função ao eixo de rotação.

Passo 5

Nesse caso, a função está abaixo do eixo entre e . Como estamos girando em torno do eixo , a distância será . Porém, como é negativa nesse intervalo, podemos simplesmente usar .
Então, o volume fica:
Vamos expandir :
Agora, integramos termo a termo:
Calculando nos limites:
Para :
Calculando os valores:
Então:
Multiplicando por :

Resposta

O volume do sólido gerado é aproximadamente unidades cúbicas.

Exercícios relacionados

Esboce a região delimitada pelos gráficos das equações e calcule o volume do sólido gerado pela revolução de em torno do eixo indicado.
e) eixo ;
Esboce a região delimitada pelos gráficos das equações e calcule o volume do sólido gerado pela revolução de em torno do eixo indicado.
a) ; eixo ;
Esboce a região delimitada pelos gráficos das equações e calcule o volume do sólido gerado pela revolução de em torno do eixo indicado.
h) ; eixo .
Se , ache a área da região sob o gráfico de de a .