Esboce a região delimitada pelos gráficos das equações e calcule o volume do sólido gerado pela revolução de
em torno do eixo indicado.
b)
; eixo
;
b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar a região delimitada pelas curvas das equações
e
, e depois calcular o volume do sólido formado quando essa região é girada em torno do eixo
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente o método dos discos ou das cascas, que ajudam a encontrar volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender onde as duas curvas se encontram. Isso significa encontrar os valores de
que satisfazem ambas as equações
e
.
Passo 3
Igualando as duas equações:
Podemos fatorar:
Então, as soluções são
e
. Isso nos dá os pontos de interseção:
e
.
Passo 4
Agora, vamos identificar qual método vamos usar para calcular o volume. Como estamos girando em torno do eixo
(que é simétrico ao eixo
), o método dos discos é apropriado aqui.
Lembrando que a fórmula para o volume usando o método dos discos é:
onde
é a distância da função ao eixo de rotação.
Passo 5
Nesse caso, a função
está abaixo do eixo
entre
e
. Como estamos girando em torno do eixo
, a distância
será
. Porém, como
é negativa nesse intervalo, podemos simplesmente usar
.
Então, o volume fica:
Vamos expandir
:
Agora, integramos termo a termo:
Calculando nos limites:
Para
:
Calculando os valores:
Então:
Multiplicando por
:
Resposta
O volume do sólido gerado é aproximadamente
unidades cúbicas.
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Esboce a região delimitada pelos gráficos das equações e calcule o volume do sólido gerado pela revolução de
em torno do eixo indicado.
e) eixo
;
e)
Esboce a região delimitada pelos gráficos das equações e calcule o volume do sólido gerado pela revolução de
em torno do eixo indicado.
a) ; eixo
;
a)
Esboce a região delimitada pelos gráficos das equações e calcule o volume do sólido gerado pela revolução de
em torno do eixo indicado.
h) ; eixo
.
h)
Se
, ache a área da região sob o gráfico de
de
a
.