Se
, ache a área da região delimitada pelo gráfico de
e pelo eixo
, de
a
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer encontrar a área da região delimitada pelo gráfico da função
e o eixo
, entre
e
. Para resolver isso, vamos usar cálculo integral, mais especificamente integrando a função para encontrar a área desejada.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função que estamos trabalhando. A função é
. Vamos fatorar o denominador para facilitar a integração:
Então, a função fica:
Passo 3
Agora, vamos decompôr essa fração em partes (frações parciais) para facilitar a integração. Queremos escrever:
Multiplicando ambos os lados pelo denominador comum
:
Passo 4
Para encontrar os valores de
e
, podemos escolher valores de
que simplifiquem a equação:
-
Quando
: -
Quando
:
Então, temos:
Passo 5
Substituindo
e
na decomposição das frações parciais:
Passo 6
Agora, para encontrar a área entre
e
, vamos integrar a função
nesse intervalo. Como a função é negativa entre
e
(visto que o denominador no intervalo é negativo e o numerador é positivo), a área será o valor absoluto dessa integral:
Substituindo
:
Passo 7
Vamos integrar termo a termo:
Passo 8
Agora, avaliaremos a expressão nos limites de integração:
Para
:
Para
:
Passo 9
Subtraindo as duas avaliações:
Multiplicando pelo sinal negativo da área:
Resposta
A área da região delimitada é
.
Exercícios relacionados
Esboce a região delimitada pelos gráficos das equações e calcule o volume do sólido gerado pela revolução de
em torno do eixo indicado.
c) ; eixo
;
c)
Esboce a região delimitada pelos gráficos das equações e calcule o volume do sólido gerado pela revolução de
em torno do eixo indicado.
f) ; eixo
;
f)
Esboce a região delimitada pelos gráficos das equações e calcule o volume do sólido gerado pela revolução de
em torno do eixo indicado.
g) ; eixo
;
g)
Esboce a região delimitada pelos gráficos das equações e calcule o volume do sólido gerado pela revolução de
em torno do eixo indicado.
i) ; eixo
i)