Se , ache a área da região delimitada pelo gráfico de e pelo eixo , de a .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer encontrar a área da região delimitada pelo gráfico da função e o eixo , entre e . Para resolver isso, vamos usar cálculo integral, mais especificamente integrando a função para encontrar a área desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função que estamos trabalhando. A função é . Vamos fatorar o denominador para facilitar a integração:
Então, a função fica:

Passo 3

Agora, vamos decompôr essa fração em partes (frações parciais) para facilitar a integração. Queremos escrever:
Multiplicando ambos os lados pelo denominador comum :

Passo 4

Para encontrar os valores de e , podemos escolher valores de que simplifiquem a equação:
  1. Quando :
  2. Quando :
Então, temos:

Passo 5

Substituindo e na decomposição das frações parciais:

Passo 6

Agora, para encontrar a área entre e , vamos integrar a função nesse intervalo. Como a função é negativa entre e (visto que o denominador no intervalo é negativo e o numerador é positivo), a área será o valor absoluto dessa integral:
Á
Substituindo :
Á

Passo 7

Vamos integrar termo a termo:
Á

Passo 8

Agora, avaliaremos a expressão nos limites de integração:
Para :
Para :

Passo 9

Subtraindo as duas avaliações:
Multiplicando pelo sinal negativo da área:
Á

Resposta

A área da região delimitada é .

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Esboce a região delimitada pelos gráficos das equações e calcule o volume do sólido gerado pela revolução de em torno do eixo indicado.
c) ; eixo ;
Esboce a região delimitada pelos gráficos das equações e calcule o volume do sólido gerado pela revolução de em torno do eixo indicado.
f) ; eixo ;
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Esboce a região delimitada pelos gráficos das equações e calcule o volume do sólido gerado pela revolução de em torno do eixo indicado.
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