Utilise o Teorema de Green para calcular a integral do campo vetorial
ao longo da circunferência
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício está pedindo. A gente tem um campo vetorial dado por:
E a gente precisa calcular a integral de linha desse campo ao longo da circunferência
. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha em contornos fechados com integrais duplas sobre a região delimitada por esses contornos. Vamos precisar entender como aplicar esse teorema e calcular as integrais envolvidas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele diz que, para um campo vetorial
, a integral de linha ao redor de uma curva fechada
é igual à integral dupla sobre a região
limitada por
da diferença das derivadas parciais:
Então, nosso passo agora é identificar
e
no campo vetorial dado.
Passo 3
No nosso caso, temos:
e
Agora, precisamos calcular as derivadas parciais
e
.
Passo 4
Vamos calcular
primeiro. Temos:
Derivando em relação a
:
- Derivada de
em relação a é . - Derivada de
é .
Simplificando, a derivada fica:
Passo 5
Agora, vamos calcular
. Temos:
Derivando em relação a
:
Passo 6
Agora que temos
e
, vamos formar a diferença
:
Vamos simplificar essa expressão. Observamos que:
Então, substituindo de volta:
Passo 7
Agora que a diferença
simplificou para
, nossa integral dupla fica:
Onde
é a região dentro da circunferência
. Vamos calcular essa integral em coordenadas polares, já que a região é um círculo.
Passo 8
Em coordenadas polares, temos
e
, e o elemento de área
. A integral se torna:
Passo 9
Vamos separar as integrais:
- Integração em
:
- Integração em
:
(Usando a identidade
e integrando de
a
.)
Passo 10
Multiplicando os resultados das integrais:
Resposta
A integral do campo vetorial ao longo da circunferência
é
.
Exercícios relacionados
Considere a função
. Usando uma calculadora, crie uma tabela com as colunas
e
usando 6 casas decimais para fazer uma estimativa sobre os seguintes limites:
c. , fazendo
c.
Sabendo que
você pode dizer algo sobre
Justifique sua resposta.
Considere a função
. Usando uma calculadora, crie uma tabela com as colunas
e
usando 6 casas decimais para fazer uma estimativa sobre os seguintes limites:
d. , fazendo
d.
Esboce a região e encontre sua área (se a área for finita).