Utilise o Teorema de Green para calcular a integral do campo vetorial
ao longo da circunferência

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício está pedindo. A gente tem um campo vetorial dado por:
E a gente precisa calcular a integral de linha desse campo ao longo da circunferência . Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha em contornos fechados com integrais duplas sobre a região delimitada por esses contornos. Vamos precisar entender como aplicar esse teorema e calcular as integrais envolvidas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele diz que, para um campo vetorial , a integral de linha ao redor de uma curva fechada é igual à integral dupla sobre a região limitada por da diferença das derivadas parciais:
Então, nosso passo agora é identificar e no campo vetorial dado.

Passo 3

No nosso caso, temos:
e
Agora, precisamos calcular as derivadas parciais e .

Passo 4

Vamos calcular primeiro. Temos:
Derivando em relação a :
  1. Derivada de em relação a é .
  2. Derivada de é .
Simplificando, a derivada fica:

Passo 5

Agora, vamos calcular . Temos:
Derivando em relação a :

Passo 6

Agora que temos e , vamos formar a diferença :
Vamos simplificar essa expressão. Observamos que:
Então, substituindo de volta:

Passo 7

Agora que a diferença simplificou para , nossa integral dupla fica:
Onde é a região dentro da circunferência . Vamos calcular essa integral em coordenadas polares, já que a região é um círculo.

Passo 8

Em coordenadas polares, temos e , e o elemento de área . A integral se torna:

Passo 9

Vamos separar as integrais:
  1. Integração em :
  1. Integração em :
(Usando a identidade e integrando de a .)

Passo 10

Multiplicando os resultados das integrais:

Resposta

A integral do campo vetorial ao longo da circunferência é .

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Considere a função . Usando uma calculadora, crie uma tabela com as colunas e usando 6 casas decimais para fazer uma estimativa sobre os seguintes limites:
c. , fazendo
Sabendo que
você pode dizer algo sobre
Justifique sua resposta.
Considere a função . Usando uma calculadora, crie uma tabela com as colunas e usando 6 casas decimais para fazer uma estimativa sobre os seguintes limites:
d. , fazendo
Esboce a região e encontre sua área (se a área for finita).