Usando os multiplicadores de Lagrange: Encontre os valores extremos da função
com a restrição
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores extremos da função
com a restrição
. Para isso, vamos usar os multiplicadores de Lagrange, que é uma técnica de otimização que ajuda a encontrar máximos e mínimos de uma função sujeita a uma restrição.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a função de Lagrange. Ela combina a função que queremos otimizar com a restrição, usando um multiplicador (que geralmente chamamos de
). A fórmula fica assim:
No nosso caso,
e
. Então, a função de Lagrange fica:
Passo 3
Agora, vamos derivar a função de Lagrange em relação a
,
e
e igualar cada derivada a zero. Isso nos dá um sistema de equações para resolver.
Primeiro, derivando em relação a
:
Depois, derivando em relação a
:
E, por fim, a derivada em relação a
nos devolve a restrição original:
Passo 4
Vamos simplificar essas equações para achar
,
e
.
Da primeira equação:
Isso significa que ou
ou
.
Vamos considerar os dois casos:
Caso 1:
Substituindo na restrição
:
Então, temos os pontos
e
.
Caso 2:
Substituindo
na segunda equação:
Agora, substituímos
e
na restrição:
Então, para
:
E para
:
Assim, temos os pontos
e
.
Resposta
Os valores extremos da função
sujeitos à restrição
são:
- Máximo em
com - Máximo em
com - Mínimo em
com - Mínimo em
com
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como um único logaritmo.
Determine se
é uma função par, ímpar ou nenhuma das duas:
Esboce a região de integração em cada caso