Usando os multiplicadores de Lagrange: Encontre os valores extremos da função com a restrição

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores extremos da função com a restrição . Para isso, vamos usar os multiplicadores de Lagrange, que é uma técnica de otimização que ajuda a encontrar máximos e mínimos de uma função sujeita a uma restrição.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a função de Lagrange. Ela combina a função que queremos otimizar com a restrição, usando um multiplicador (que geralmente chamamos de ). A fórmula fica assim:
No nosso caso, e . Então, a função de Lagrange fica:

Passo 3

Agora, vamos derivar a função de Lagrange em relação a , e e igualar cada derivada a zero. Isso nos dá um sistema de equações para resolver.
Primeiro, derivando em relação a :
Depois, derivando em relação a :
E, por fim, a derivada em relação a nos devolve a restrição original:

Passo 4

Vamos simplificar essas equações para achar , e .
Da primeira equação:
Isso significa que ou ou .
Vamos considerar os dois casos:
Caso 1:
Substituindo na restrição :
Então, temos os pontos e .
Caso 2:
Substituindo na segunda equação:
Agora, substituímos e na restrição:
Então, para :
E para :
Assim, temos os pontos e .

Resposta

Os valores extremos da função sujeitos à restrição são:
  • Máximo em com
  • Máximo em com
  • Mínimo em com
  • Mínimo em com

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Se existirem, determine e classifique os extremos da função
Escreva a expressão como um único logaritmo.
Determine se é uma função par, ímpar ou nenhuma das duas:
Esboce a região de integração em cada caso