Esboce a região de integração e escreva uma integral dupla equivalente com a ordem de integração invertida. integral0^ln 2 integrale^y^2 g(x, y) d x d y

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma integral dupla:
integral0^ln 2 integrale^y^2 g(x, y) , dx , dy
O objetivo é desenhar a região de integração desse integral e depois reescrever a integral com a ordem de integração invertida, ou seja, integrando primeiro em relação a e depois em relação a . Para isso, vamos precisar entender como as variáveis e estão limitando a área que estamos integrando.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os limites de integração atuais. Na integral dada:
  • varia de até .
  • Para cada valor de , varia de até .
Isso significa que, para cada no intervalo de a , começa em e vai até .

Passo 3

Agora, vamos desenhar a região de integração no plano . Para isso:
  1. Desenhamos as linhas e .
  2. Desenhamos as curvas que representam e .
A curva é uma exponencial crescente. No intervalo de a , varia de ( ) até ( ).

Passo 4

Com a região desenhada, vemos que a área de integração está limitada por:
  • entre e .
  • entre e .
Para inverter a ordem de integração, precisamos expressar em termos de e identificar os novos limites.

Passo 5

Observando a curva y = ln x , podemos resolver para :
Agora, para o novo intervalo de integração:
  • varia de até (já que e ).
  • Para cada , varia de até .

Passo 6

Com os novos limites, a integral com a ordem de integração invertida fica:
integral1^2 integral0^ln x g(x, y) , dy , dx
Isso significa que agora estamos integrando primeiro em relação a de até e depois em relação a de até .

Resposta

A integral dupla com a ordem de integração invertida é:
integral1^2 integral0^ln x g(x, y) , dy , dx

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