Esboce a região de integração e escreva uma integral dupla equivalente com a ordem de integração invertida.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma integral dupla:
O objetivo é desenhar a região de integração desse integral e depois reescrever a integral com a ordem de integração invertida, ou seja, integrando primeiro em relação a
e depois em relação a
. Para isso, vamos precisar entender como as variáveis
e
estão limitando a área que estamos integrando.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os limites de integração atuais. Na integral dada:
-
varia de até . - Para cada valor de
, varia de até .
Isso significa que, para cada
no intervalo de
a
,
começa em
e vai até
.
Passo 3
Agora, vamos desenhar a região de integração no plano
. Para isso:
- Desenhamos as linhas
e . - Desenhamos as curvas que representam
e .
A curva
é uma exponencial crescente. No intervalo
de
a
,
varia de
(
) até
(
).
Passo 4
Com a região desenhada, vemos que a área de integração está limitada por:
-
entre e . -
entre e .
Para inverter a ordem de integração, precisamos expressar
em termos de
e identificar os novos limites.
Passo 5
Observando a curva
, podemos resolver para
:
Agora, para o novo intervalo de integração:
-
varia de até (já que e ). - Para cada
, varia de até .
Passo 6
Com os novos limites, a integral com a ordem de integração invertida fica:
Isso significa que agora estamos integrando primeiro em relação a
de
até
e depois em relação a
de
até
.
Resposta
A integral dupla com a ordem de integração invertida é:
Exercícios relacionados
Esboce a região de integração e escreva uma integral dupla equivalente com a ordem de integração invertida.
Esboce a região de integração e calcule as integrais duplas abaixo.
Verificar se a função, ou as funções dadas, constituem solução da EDO.
.
Usando integração, encontre soluções para as seguintes equações diferenciais:
(b)
(b)