Esboce a região de integração e escreva uma integral dupla equivalente com a ordem de integração invertida.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma integral dupla:
O objetivo é desenhar a região de integração desse integral e depois reescrever a integral com a ordem de integração invertida, ou seja, integrando primeiro em relação a e depois em relação a . Para isso, vamos precisar entender como as variáveis e estão limitando a área que estamos integrando.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os limites de integração atuais. Na integral dada:
  • varia de até .
  • Para cada valor de , varia de até .
Isso significa que, para cada no intervalo de a , começa em e vai até .

Passo 3

Agora, vamos desenhar a região de integração no plano . Para isso:
  1. Desenhamos as linhas e .
  2. Desenhamos as curvas que representam e .
A curva é uma exponencial crescente. No intervalo de a , varia de ( ) até ( ).

Passo 4

Com a região desenhada, vemos que a área de integração está limitada por:
  • entre e .
  • entre e .
Para inverter a ordem de integração, precisamos expressar em termos de e identificar os novos limites.

Passo 5

Observando a curva , podemos resolver para :
Agora, para o novo intervalo de integração:
  • varia de até (já que e ).
  • Para cada , varia de até .

Passo 6

Com os novos limites, a integral com a ordem de integração invertida fica:
Isso significa que agora estamos integrando primeiro em relação a de até e depois em relação a de até .

Resposta

A integral dupla com a ordem de integração invertida é:

Exercícios relacionados

Esboce a região de integração e escreva uma integral dupla equivalente com a ordem de integração invertida.
Esboce a região de integração e calcule as integrais duplas abaixo.
Verificar se a função, ou as funções dadas, constituem solução da EDO.
.
Usando integração, encontre soluções para as seguintes equações diferenciais:
(b)