Usando o teste de comparação verifique se as séries abaixo são convergentes ou divergentes.
(f)
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Passo 1
Beleza, vamos resolver essa série usando o teste de comparação. O que a gente tem aqui é a série:
O conteúdo envolvido aqui é séries infinitas e convergência delas. Para resolver, vamos precisar entender como comparar nossa série com outra que a gente já saiba se converge ou diverge.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar do que é o teste de comparação. Esse teste nos ajuda a determinar se uma série converge ou diverge comparando-a com outra série conhecida. Se a nossa série for menor ou igual a uma série que sabemos que converge, então a nossa série também converge.
Passo 3
Agora, vamos olhar para o termo geral da nossa série:
Sabemos que o valor absoluto do seno sempre está entre 0 e 1, ou seja:
Isso significa que:
Passo 4
Vamos comparar nossa série com a série:
Essa é uma série geométrica com razão
. Sabemos que uma série geométrica converge se
. Nesse caso,
, então a série converge.
Passo 5
Como vimos que:
E a série
converge, pelo teste de comparação, nossa série
também converge.
Resposta
A série
converge pelo teste de comparação.
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(k)
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