Integrar as equações de Bernoulli.
(y ln x - 2) y dx = x dy

Passo 1

Ok, vamos lá! Você me passou uma equação para integrar que está relacionada às Equações de Bernoulli. O enunciado é:
Para resolver isso, vamos precisar usar o método específico para Equações de Bernoulli, que é um tipo especial de equação diferencial. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para colocá-la na forma padrão das Equações de Bernoulli, que é:
Para isso, vamos dividir ambos os lados da equação original por :
Agora, reescrevemos de forma que se pareça com a forma padrão:
Aqui, identificamos que , e .

Passo 3

Como a equação é uma Equação de Bernoulli com , vamos fazer uma substituição para transformar essa equação em uma equação linear. Usamos a substituição:
Agora, vamos derivar em relação a :

Passo 4

Substituímos na equação original com base na expressão de :
Multiplicando todos os termos por para simplificar:
Agora, temos uma equação linear em termos de .

Passo 5

Vamos resolver essa equação linear. Primeiro, identificamos o fator integrante:
Multiplicamos toda a equação por :
Isso simplifica para:
Integrando ambos os lados:
Usamos integração por partes para resolver a integral:
Portanto:
Simplificando:

Passo 6

Lembrando que , reescrevemos a solução em termos de :
Finalmente, isolamos :

Resposta

A solução da equação é:

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