Esboce a região de integração e calcule usando coordenadas polares a integral dupla sobre em cada item abaixo: , com .
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício pede. Precisamos esboçar a região de integração , que é definida pelas condições e . Depois disso, vamos calcular a integral dupla usando coordenadas polares. Para isso, vamos precisar converter as coordenadas cartesianas para polares e determinar os limites de integração apropriados.
Passo 2
Primeiro, vamos esboçar a região . A condição descreve um círculo de raio 1 centrado na origem. A condição representa uma região acima da reta . Então, é a parte do círculo onde .
Passo 3
Para facilitar os cálculos, vamos converter as desigualdades para coordenadas polares. Lembrando que em coordenadas polares, e , e o elemento de área .
Passo 4
A condição se torna , ou seja, .
Passo 5
A condição em coordenadas polares fica . Podemos fatorar :
Passo 6
Portanto, para cada ângulo , varia de até 1. Agora precisamos determinar os limites de onde essa condição é válida.
Passo 7
Encontramos onde a reta intercepta o círculo . Resolvendo o sistema, substituímos na equação do círculo:
Simplificando:
Para , . Para , .
Passo 8
Os pontos de interseção são e . Em coordenadas polares, esses correspondem a e , respectivamente.
Passo 9
Logo, os limites de vão de a .
Passo 10
Agora, podemos escrever a integral em coordenadas polares:
Passo 11
Simplificando a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 12
Calculamos a integral interna:
Passo 13
Substituímos de volta na integral externa:
Passo 14
Fatorando o :
Passo 15
Agora, podemos integrar termo a termo:
Passo 16
Calculando a primeira integral:
Avaliado de a :
Passo 17
Calculando a segunda integral, fazemos uma substituição: , então . Perceba que .