Esboce a região de integração e calcule usando coordenadas polares a integral dupla sobre em cada item abaixo:
, com .

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício pede. Precisamos esboçar a região de integração , que é definida pelas condições e . Depois disso, vamos calcular a integral dupla usando coordenadas polares. Para isso, vamos precisar converter as coordenadas cartesianas para polares e determinar os limites de integração apropriados.

Passo 2

Primeiro, vamos esboçar a região . A condição descreve um círculo de raio 1 centrado na origem. A condição representa uma região acima da reta . Então, é a parte do círculo onde .

Passo 3

Para facilitar os cálculos, vamos converter as desigualdades para coordenadas polares. Lembrando que em coordenadas polares, e , e o elemento de área .

Passo 4

A condição se torna , ou seja, .

Passo 5

A condição em coordenadas polares fica . Podemos fatorar :

Passo 6

Portanto, para cada ângulo , varia de até 1. Agora precisamos determinar os limites de onde essa condição é válida.

Passo 7

Encontramos onde a reta intercepta o círculo . Resolvendo o sistema, substituímos na equação do círculo:
Simplificando:
Para , . Para , .

Passo 8

Os pontos de interseção são e . Em coordenadas polares, esses correspondem a e , respectivamente.

Passo 9

Logo, os limites de vão de a .

Passo 10

Agora, podemos escrever a integral em coordenadas polares:

Passo 11

Simplificando a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:

Passo 12

Calculamos a integral interna:

Passo 13

Substituímos de volta na integral externa:

Passo 14

Fatorando o :

Passo 15

Agora, podemos integrar termo a termo:

Passo 16

Calculando a primeira integral:
Avaliado de a :

Passo 17

Calculando a segunda integral, fazemos uma substituição: , então . Perceba que .
Então, a integral se torna:
Avaliado de a :
Quando , . Quando , .
Então:

Resposta

A integral dupla vale 0.

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, com .
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