Esboce a região de integração
e calcule usando coordenadas polares a integral dupla sobre
em cada item abaixo:
, com
.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício pede. Precisamos esboçar a região de integração
, que é definida pelas condições
e
. Depois disso, vamos calcular a integral dupla
usando coordenadas polares. Para isso, vamos precisar converter as coordenadas cartesianas para polares e determinar os limites de integração apropriados.
Passo 2
Primeiro, vamos esboçar a região
. A condição
descreve um círculo de raio 1 centrado na origem. A condição
representa uma região acima da reta
. Então,
é a parte do círculo onde
.
Passo 3
Para facilitar os cálculos, vamos converter as desigualdades para coordenadas polares. Lembrando que em coordenadas polares,
e
, e o elemento de área
.
Passo 4
A condição
se torna
, ou seja,
.
Passo 5
A condição
em coordenadas polares fica
. Podemos fatorar
:
Passo 6
Portanto, para cada ângulo
,
varia de
até 1. Agora precisamos determinar os limites de
onde essa condição é válida.
Passo 7
Encontramos onde a reta
intercepta o círculo
. Resolvendo o sistema, substituímos
na equação do círculo:
Simplificando:
Para
,
. Para
,
.
Passo 8
Os pontos de interseção são
e
. Em coordenadas polares, esses correspondem a
e
, respectivamente.
Passo 9
Logo, os limites de
vão de
a
.
Passo 10
Agora, podemos escrever a integral em coordenadas polares:
Passo 11
Simplificando a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 12
Calculamos a integral interna:
Passo 13
Substituímos de volta na integral externa:
Passo 14
Fatorando o
:
Passo 15
Agora, podemos integrar termo a termo:
Passo 16
Calculando a primeira integral:
Avaliado de
a
:
Passo 17
Calculando a segunda integral, fazemos uma substituição:
, então
. Perceba que
.
Então, a integral se torna:
Avaliado de
a
:
Quando
,
. Quando
,
.
Então:
Resposta
A integral dupla
vale 0.