Esboce a região de integração R e calcule usando coordenadas polares a integral dupla sobre R em cada item abaixo:
integral duplaR(x-y) d A, com R=(x, y): x^2+y^2 <= 1, x+y >= 1.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício pede. Precisamos esboçar a região de integração , que é definida pelas condições e . Depois disso, vamos calcular a integral dupla usando coordenadas polares. Para isso, vamos precisar converter as coordenadas cartesianas para polares e determinar os limites de integração apropriados.

Passo 2

Primeiro, vamos esboçar a região . A condição descreve um círculo de raio 1 centrado na origem. A condição representa uma região acima da reta . Então, é a parte do círculo onde .

Passo 3

Para facilitar os cálculos, vamos converter as desigualdades para coordenadas polares. Lembrando que em coordenadas polares, e , e o elemento de área .

Passo 4

A condição se torna , ou seja, .

Passo 5

A condição r (cos theta + sin theta) >= 1 implies r >= 1cos theta + sin theta em coordenadas polares fica . Podemos fatorar :

Passo 6

Portanto, para cada ângulo , varia de até 1. Agora precisamos determinar os limites de onde essa condição é válida.

Passo 7

Encontramos onde a reta x^2 + (1 - x)^2 = 1 intercepta o círculo 2x^2 - 2x = 0 implies 2x(x - 1) = 0 implies x = 0 ou x = 1 . Resolvendo o sistema, substituímos na equação do círculo:
Simplificando:
Para , . Para , .

Passo 8

Os pontos de interseção são e . Em coordenadas polares, esses correspondem a e , respectivamente.

Passo 9

Logo, os limites de vão de a .

Passo 10

Agora, podemos escrever a integral em coordenadas polares:
integral duplaR (x - y) , dA = integral0^pi2 integral1cos theta + sin theta^1 (r cos theta - r sin theta) cdot r , dr , dtheta

Passo 11

Simplificando a expressão dentro da integral:
(r cos theta - r sin theta) cdot r = r^2 (cos theta - sin theta)
Então, a integral fica:
integral0^pi2 (cos theta - sin theta) integral1cos theta + sin theta^1 r^2 , dr , dtheta

Passo 12

Calculamos a integral interna:
integral1cos theta + sin theta^1 r^2 , dr = [ r^33 ]1cos theta + sin theta^1 = 13 - 13 (cos theta + sin theta)^3

Passo 13

Substituímos de volta na integral externa:
integral0^pi2 (cos theta - sin theta) ( 13 - 13 (cos theta + sin theta)^3 ) dtheta

Passo 14

Fatorando o 13 integral0^pi2 (cos theta - sin theta) ( 1 - 1(cos theta + sin theta)^3 ) dtheta :

Passo 15

Agora, podemos integrar termo a termo:
13 [ integral0^pi2 (cos theta - sin theta) , dtheta - integral0^pi2 (cos theta - sin theta)(cos theta + sin theta)^3 , dtheta ]

Passo 16

Calculando a primeira integral:
integral (cos theta - sin theta) , dtheta = sin theta + cos theta
Avaliado de [ sin pi2 + cos pi2 ] - [ sin 0 + cos 0 ] = (1 + 0) - (0 + 1) = 0 a :

Passo 17

Calculando a segunda integral, fazemos uma substituição: integral duu^3 = integral u^-3 , du = u^-2-2 = -12 u^2 , então -12 ( 11^2 - 11^2 ) = 0 . Perceba que .
Então, a integral se torna:
Avaliado de a :
Quando , . Quando , .
Então:

Resposta

A integral dupla vale 0.

Exercícios relacionados